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令g(x)=u1f(x1)+u2f(x2)-(u1+u2)f(x)，在[x1,x2]上连续
因为g(x1)=u2[f(x2)-f(x1)]
g(x2)=u1[f(x1)-f(x2)]
若f(x1)=f(x2)，则存在ξ=x1或x2，使得g(ξ)=0
若f(x1)≠f(x2)，则g(x1)与g(x2)异号，根据连续函数零点定理，存在ξ∈(x1,x2)，使得g(ξ)=0
即存在ξ∈[x1,x2]，使得u1f(x1)+u2f(x2)=(u1+u2)f(ξ)
因为g(x1)=u2[f(x2)-f(x1)]
g(x2)=u1[f(x1)-f(x2)]
若f(x1)=f(x2)，则存在ξ=x1或x2，使得g(ξ)=0
若f(x1)≠f(x2)，则g(x1)与g(x2)异号，根据连续函数零点定理，存在ξ∈(x1,x2)，使得g(ξ)=0
即存在ξ∈[x1,x2]，使得u1f(x1)+u2f(x2)=(u1+u2)f(ξ)
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