Question

已知 PA、 PB是圆O的切线，A、B是切点，连接OA,OB,OP . 第一题 过作OC,OD 分别交AP BP 于C D两点

1 若角COP=角DOP 求证 AC=BD 2 连接CD 设三角形PCD的周长为L ，若L=2AP.判断直线CD于圆O的位置关系，并说明理由。
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Answer 1

第一题证全等，△COP与△BOP，所以CP=BP，又因为切线长相等，所以AC=BD

第二题，CD与圆相切。
作平行于CD的直线EF，直线与圆相切于M，且分别交AP、BP于E、F。可以证明EM=EA、FM=FB。因此△EFP的周长=AP+BP=L。又因为△EFP相似于△CDP，周长相等，相似比为1，所以二者全等，所以CD与EF重合。即CD与圆相切。

Answer 2

解：（1）∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°；
又∠AOP=60°，
∴∠APO=30°；
由切线长定理知AP=BP，∠PBO=∠PAO=90°；
又OP=OP，
∴△PAO≌△PBO（HL）；
∴∠OPB=∠OPA=30°．
（2）①证明：由（1）中知△PAO≌△PBO；
∴∠POB=∠POA，又∠COP=∠DOP；
∴∠COA=∠DOB，而∠CAO=∠DBO=90°，OA=OB，
∴△AOC≌△BOD；
∴AC=BD；
②延长射线PA到F使AF=BD，
∵OA=OB，∠OAF=∠OBD；
∴△OAF≌△OBD；
∴OF=OD；
∵△PCD的周长为l，l=2AP，
∴l=PA+PB=PC+PD+AC+BD=PC+PD+CD；
∴CD=AC+BD，
∵AF=BD，
∴CF=CD；
又∵OC=OC，OF=OD；
∴△OFC≌△OCD（SSS）；
所以CF和CD边上所对应的高也应该相等．
过OE⊥CD于E，则OE=OA=R（R为半径长度）；
所以CD与⊙O相切．