Question

已知函数y=f(x)在定义域上[-1,1]上是奇函数,又是减函数。

已知函数y=f(x)在定义域上[-1,1]上是奇函数,又是减函数。
1.证明:对任意x1、x2∈[-1,1]，有f(x1)+f(x2)/x1+x2≤0
2。若f(1-a)+f(1-a²)<0 求实数a的取值范围

Answer 1

解：（1）若x1+x2=0，显然不等式成立；
若x1+x2＜0，则-1＜x1＜-x2＜1，∵函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数，
∴f（x1）＞f（-x2）=-f（x2），f（x1）+f（x2）＞0，故原不等式成立；
同理可证当x1+x2＞0 时，原不等式也成立．
（2）由f（1-a）+f（1-a2）＜0 和已知可得以下不等式组

−1≤1−a2≤1
−1≤a−1≤1
1−a2＞a−1

解得 0≤a＜1．

Answer 2

【答案】分析：（1）分类讨论，分x1+x2=0、若x1+x2＜0、x1+x2＞0 三种情况，证明（x1+x2）与[f（x1）+f（x2）]符号相反．
（2）利用函数的定义域和单调性列出不等式组，求出解集．
解答：解：（1）若x1+x2=0，显然不等式成立；
若x1+x2＜0，则-1＜x1＜-x2＜1，∵函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数，
∴f（x1）＞f（-x2）=-f（x2），f（x1）+f（x2）＞0，故原不等式成立；
同理可证当x1+x2＞0 时，原不等式也成立．
（2）由f（1-a）+f（1-a2）＜0 和已知可得以下不等式组
解得 0≤a＜1．
点评：本题综合考查函数的定义域、单调性和奇偶性．