Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a<0)不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a<0)不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)
1.若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式
2.若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围

Answer 1

看好了……符号有点乱。

(1)
因为ax^2+bx+c+6a=0有两个相等的实根
所以判别式=b^2-4a(c+6a)=0
推得24a^2=b^2-4ac ①
f(x)>-2x
即
ax^2+(b+2)x+c>0
即
-ax^2-(b+2)x-c<0
两根为x=(b+2+-根号下(b^2+4b+4-4ac))/2a
一个得1一个得3；
即
-(b+2)/2a=2 ②
(根号下(24a^2+4b+4))/2a=1 ③
用②把b用a表示出来（简单），然后带入③
解得a=-0.2
b=-1.2
再代入①
得c=-0.6.
所以f(x)=-0.2x^2-1.2x-0.6

(2)
这一问和（1）的式子没关系了。
注意题干给的解集相当于2个基本条件。
同(1)得出
两根为x=(b+2+-根号下(b^2+4b+4-4ac))/2a
一个得3一个得1
把b和c用a表示出来
即
b=-4a-2
c=3a
二次函数是a<0的开口向下的抛物线
其最大值在顶点上。
所以x=(4ac-b^2)/4a <0
因为a<0
所以(4ac-b^2)>0
把b和c代入
解得
(-7-3倍根号5)/2<x<(-7+3倍根号5)/2
解得不一定对……本人计算不好，烦LZ检验下。

这个问题是很基础的……