Question

帮忙解几道一元二次方程的难题

1.已知p,q都是质数，且使得关于x的一元二次方程 x² -（8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根，求所有的质数对（p,q).
2.已知关于x的方程 4 x² +mx+1=0的两根是X1,X2,则二次三项式4 x² -mx+1可分解为___.

Answer 1

果然是难题。
第一个：
两个根x1 x2有一个是正整数， 又因为x1*x2=5pq,x1+x2=8p-10q，是整数，所以两个根都是正整数才能满足。
p、q为质数，所以所有可能的正整数根的组合是 5p,q ; p, 5q ; 5,pq ; 1, 5pq
如果是5p和q为根，从方程得到两根之和应当为8p-10q所以5p+q=8p-10q。得到3p=11q，那么p=11，q=3
如果p和5q为根，那么p+5q=8p-10q,得到 7p=15q，没有两个质数p，q满足条件。

Or, 5+pq=8p-10q. (8-q)p=5(1+2q) =>q=3 p=7

Or, 1+5pq=8p-10q. 1+10q=(8-5q)p. 没有两个质数p，q满足条件

the answer is p,q= 11,3 or 7,3

第二个： x1+x2=-m/4, x1*x2=1/4
所以第二个方程的根是-x1,-x2。 分解成
（x+x1）(x+x2)

Answer 2

回答第二个问题吧。第一个我不知道 应该可以分解为（x+x1)(x+x2)