Question

如图，直线y=-x+6与坐标轴分别相交与点A,B，点P是直线AB上的一点，Q坐标平面内的一点，若以O,Q,A,P为顶点

要详细过程
A在X轴上，B在Y轴上。 A（6,0） B（0,6） 图自己画下

使O、A、P、Q组成的四边形是菱形，求出Q的坐标和对应的k的值。

Answer 1

1》当A坐标分别为（6，0）
假设P坐标为（a,6-a）,显然0<=a<=6
O,Q,A,P为顶点的四边形是菱形,
则有OQ//AP
则OQ的方程为
y=-x
假设Q坐标为（b,-b）
显然，PQ的中点与OA相同
a＋b＝6．．．．．．．．．（1）
PQ垂直平分OA
a＝b
所以
a＝3，b＝3
Q坐标为（3，－3）

2》当A坐标分别为（0，6）
同理可得到
Q坐标为（6，6）

Answer 2

解：令y=0得x=6，令x=0得y=6，可加A，B两点坐标分别为：A（6，0），B（0，6）；此处利用到课本关于坐标x轴上的点纵坐标为零，y轴上的点横坐标为零；
因为P在AB上，
∴P在直线y=-x+6上，这样可设P点坐标为（x，-x+6）；这种设未知数简便了运算；
（1）根据OQAP为菱形，则|OP|=|AP|，（菱形四个边相等的性质）；
由两点距离公式得：|OP|=(x-0) 2(-x+6-0) 2=2x2-12x+36，
|AP|=(x-6) 2+(-x+6-0) 2=2(x-6) 2；
∴2x2-12x+36=2（x-6）2，解：x=3；
于是点P的坐标为：（3，3）；
设Q坐标（xq，yq）又由于OA的中点坐标为：（3，0）；PQ的中点的坐标为：（xq+32，yq+32），根据菱形的性质OA的中点即为PQ的中点，∴3=xq+32，0=yq+32，解：xq=3，yq=-3
∴此时点Q坐标为：（3，-3），k=3×（-3）=-9；

（2）同理，OAQP为菱形时，|OA|=|OP|
(6-0) 2+(0-0) 2=(x-0) 2+(-6+x-0) 2，
解：x=0或x=6；
P点坐标为（0，6）或（6，0）（当P点为（6，0）与A点重合，无法组成菱形PAQP所以舍去）
此时：O（0，0）A（6，0）Q（xq，yq）P（0，6）
OQ中点即为AP中点有：xq=6，y=6，
Q点坐标为：（6，6），k=6×6=36；

（3）同理，OAPQ为菱形时，|OA|=|AP|
(6-0) 2+(0-0) 2=(x-6) 2+(-x+6-0) 2，
解x=6+32或x=6-32；
P点坐标为：（6+32，-32）或（6-32，32）
此时O（0，0），A（6，0），P（6+32，-32）或（6-32，32），Q（xq，yq）
OP中点即为AQ中点，可以求出：
Q点坐标为：（32，-32）或（-32，32），k=32×（-32）=（-32）×32=-18；