Question

已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,它们的定义域都是{x|x不等于正负1,x属于R},且满足f(x)+g(x)=1\(x-1),求f(x

已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,它们的定义域都是{x|x不等于正负1,x属于R},且满足f(x)+g(x)=1\(x-1),求f(x）与g（x）的解析式。

Answer 1

由奇偶性
f(-x)=f(x)
g(-x)=-g(x)
令h(x)=f(x)+g(x)=1/(x-1) (1)
h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=1/(-x-1)=-1/(x+1) (2)
(1)+(2)
2f(x)=2/(x²-1)
f(x)=1/(x²-1)
g(x)=h(x)-f(x)=x/(x²-1)

Answer 2

令1+√x=a
x=(a-1)²
dx=2(a-1)da
原式=∫(2a-2)da/a
=∫(2-2/a)da
=2a-2lna+C
=2+2√x-2ln(1+√x)+C