Question

已知等边三角形ABC和点P，设点P到三角形ABC边的AB AC BC 的距离分别是h1 h2 h3,

已知等边三角形ABC和点P，设点P到三角形ABC边的AB AC BC 的距离分别是h1 h2 h3,三角形ABC的高为h。若点P在一边BC上，此时h=0,可得结论h1+h2+h3=h,请你探索以下问题： 当点P在三角形ABC内和点P在三角形ABC外这两种情况时，h1 h2 h3 于h之间有怎样的关系？

Answer 1

(1)当P为△ABC内一点时
连接P与各顶点
得△PAB,△PAC,△PBC.
此3个△的面积和等于△ABC的面积;

而△PAB=1/2*a*h1
△PAC=1/2*a*h2
△PBC=1/2*a*h3
△ABC=1/2*a*h,
又因S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC,即
1/2*a*h1+1/2*a*h2+1/2*a*h3=1/2*a*h;
化简,得:h1+h2+h3=h.

(2)当P为△ABC外一点时,
方法同上,可得:h1+h2+h3>h.
也可以分别讨论点P的具体位置(例如:AB的一侧或AB的延长线上等等),根据△的面积关系,可得出具体的数量关系(例如:h1+h2-h3=h等等)

Answer 2

(1)当P为△ABC内一点时
连接P与各顶点
得△PAB,△PAC,△PBC.
此3个△的面积和等于△ABC的面积;

而△PAB=1/2*a*h1
△PAC=1/2*a*h2
△PBC=1/2*a*h3
△ABC=1/2*a*h,
又因S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC,即
1/2*a*h1+1/2*a*h2+1/2*a*h3=1/2*a*h;
化简,得:h1+h2+h3=h.

(2)当P为△ABC外一点时,
方法同上,可得:h1+h2+h3>h.
也可以分别讨论点P的具体位置(例如:AB的一侧或AB的延长线上等等),根据△的面积关系,可得出具体的数量关系(例如:h1+h2-h3=h等等)

楼上的对啦！把他评为最佳答案吧！我不介意···真的

Answer 3

解：①（1）h=h1+h2，理由如下：
连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC
∴12BC•AM=12AB•PD+12AC•PF
即12BC•h=12AB•h1+12AC•h2
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h1+h2．
②当点P在△ABC内时，结论成立．证明如下：
如图2，连接PA，PB，PC
∵S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC
∴12AB•h1+
12AC•h2+
12BC•h3=12BC•h
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC，
∴h1+h2+h3=h
当点P在△ABC外时，结论不成立，
理由如下：如图（3）连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC-S△PBC，
即12BC•AM=12AB•PD+12AC•PE-12BC•PF，
∵AB=BC=AC，
∴h1+h2-h3=h．

Answer 4

(1)当P为△ABC内一点时
连接P与各顶点
得△PAB,△PAC,△PBC.
此3个△的面积和等于△ABC的面积;

而△PAB=1/2*a*h1
△PAC=1/2*a*h2
△PBC=1/2*a*h3
△ABC=1/2*a*h,
又因S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC,即
1/2*a*h1+1/2*a*h2+1/2*a*h3=1/2*a*h;
化简,得:h1+h2+h3=h.

(2)当P为△ABC外一点时,
方法同上,可得:h1+h2+h3>h.
也可以分别讨论点P的具体位置(例如:AB的一侧或AB的延长线上等等),根据△的面积关系,可得出具体的数量关系(例如:h1+h2-h3=h等等)