Question

急急急！！在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BE=2CE，F为AB上一个动点，BF=nAF,DF,AE交于点P

（1）若n=1，则AP:PE= FP:DP=
（2）若n=2，求证8AP=3PE
（3）当n=？时，AE⊥DF （直接写出结果）
第2小题一定要过程，其他最好也写

Answer 1

自己画辅助线
1)过F做FM//BE,交AE于M
BE=2/3*BE=2/3*AD
所以 PF/PD=FM/AD=2/3*FM/BE=2/3*AF/AB=2/3*1/(1+n)=2/(3n+3)
所以AP/PM=PD/PF=(3n+3)/2
所以AP/AM=(3n+3)/(3n+5)
又AM/AE=AF/AB=1/(n+1)
所以AP/AE=AP/AM*AM/AE=3/(3n+5)
所以AP/PE=3/(3n+2)
所以：
当n=1时，PF/PD=1/3,AP/PE=3/5
2)n=2时，AP/PE=3/(3n+2)=3/8
所以8AP=3PE
3）不妨设正方形边长为1
勾股定理：DF=√（1+1/(n+1)^2）
PF/PD=2/(3n+3)
PD/DF=（3n+3）/(3n+5)
PD=DF*（3n+3）/(3n+5)
PD*DF=（3n+3）/(3n+5)*DF^2=3(n^2+2n+2)/(n+1)(3n+5)
AE⊥DF 是用摄影定理有PD*DF=AD^2=1
所以3(n^2+2n+2)/(n+1)(3n+5)=1
解得n=1/2