Question

如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运

设AP=x
(1)当PQ‖AD，求x的值
（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围
（3）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式

Answer 1

(1)应该是“当PQ‖AD时”吧，因为PQ‖AB是不可能的，他们始终有公共点P。X=4
因为AP‖DQ，当PQ‖AD时，四边形APQD是平行四边行，则AP=DQ，即有X=8-X，解得，X=4
（2）线段PQ的垂直平分线与BC边相交，因为中点必然是矩形对角线交点，也就是矩形中心设为O点，所以垂直平分线的两个边界位置就是BD和AC。当PQ与BD垂直时，由三角形BOP与BAD的相似比可以的到BP=7/4，X=25/4；同理，当PQ与AC垂直时，X=7/4；

Answer 2

解：（1）当PQ∥AD时，则
∠A=∠APQ=90°，∠D=∠DQP=90°，
又∵AB∥CD，
∴四边形APQD是矩形，
∴AP=QD，
∵AP=CQ，
AP=1 \2 CD=1 \2 ×8=4，
∴x=4．
（2）如图，连接EP、EQ，则EP=EQ，设BE=y．
∴（8-x）2+y2=（6-y）2+x2，
∴y=4x-7 3 ．
∵0≤y≤6，
∴0≤4x-7 3 ≤6，
∴7\ 4 ≤x≤25 \4 ．

（3）S△BPE=1 \2 •BE•BP=1\ 2 •4x-7 3 •（8-x）=-4x2+39x-56 6 ，
S△ECQ=1 \2 •CE•CQ=1\ 2 •（6-4x-7 3 ）•x=-4x2+25x 6 ，
∵AP=CQ，
∴SBPQC=1\ 2 S矩形ABCD=24，
∴S=SBPQC-S△BPE-S△ECQ=24--4x2+39x-56 6 --4x2+25x 6 ，
整理得：S=4x2-32x+100 3 =4 3 （x-4）2+12（7 4 ≤x≤25 4 ），
∴当x=4时，S有最小值12，
当x=7 \4 或x=25\ 4 时，S有最大值75 \4 ．
∴12≤S≤75\ 4 ．