Question

大学数学（函数与极限）本人是看课本自学，麻烦解释得详细些，选中有追加，谢谢

1）证明数列Xn=(-1)^n+1是发散的.
答案:设limXn(n→∞)=a,由定义,对于ε=1/2,则存在N,使得n>N时有|Xn-a|<1/2成立,则当n>N时,Xn∈ (a-1/2,a+1/2),区间长度为1,而Xn无休止反复取1,-1两个数,不可能同时位于长度为1的开区间内,因此数列Xn=(-1)^n+1是发散的.
不明白:为什么ε=1/2(取1不行吗?ε的取定如何找出? Xn不可能同时位于长度为1的开区间内为什么呢? 假设ε我取大一点的数,比如5,那样1和-1不是含概在里面?

2）证明:若数列{Xn}收敛,则极限唯一.
答案:设limXn=a(n→∞),又limXn=b,由定义,对于所有ε>0,存在N1,N2使得当n>N1时恒有|Xn-a|<ε/2, 当n>N2时恒有|Xn-b|<ε/2,取N=max{N1,N2},则当n>N时,有|a-b|=|(Xn-b)-(Xn-a)|≤|Xn-b|+|Xn-a|<ε/2+ε/2=ε,上式仅当a=b时成立,故得证.
不明白: ε/2又是怎么来的,不是ε吗?,另: N=max{N1,N2}又是什么意思?为什么是max ?min不行?最后, |a-b|=|(Xn-b)-(Xn-a)|≤|Xn-b|+|Xn-a|<ε/2+ε/2=ε看不懂啊?
我数学学得不好,麻烦解释得详细些,有追加.谢!

Answer 1

1 极限的定义是对任意ε>0均要成立，所以这个反证法是表示存在某个ε>0使得命题不成立。
这个任意性很关键

2 其实对ε的理解关键在于它是任意的，可以任意小！！ε+ε=2ε一样还是任意小，所以取|Xn-a|<ε/2 和取|Xn-a|<ε是一个意思~只不过为了结果好看一些|a-b|<ε
其实只要|a-b|<Mε,M是个有限数，而ε任意，那么取ε无穷小一样可以表明a=b

希望有帮助.

Answer 2

1：这是反证法，证明要用到(a-1/2,a+1/2)这个区间，这个区间不可能同时包含1和-1（因为一个是开区间一个是闭区间），从而导出矛盾，推翻假设。。当然不一定要1/2，也可以是1/3，1/4...或者任何小于1/2的正数，只要保证那个区间长度小于1就可以了。。。

2：ε/2是为了后面加起来说明方便，你可以把它换成ε，那后面加起来就变了2ε，max是保证n>N时|Xn-a|<ε/2，|Xn-b|<ε/2（如果min，那当n在(N1,N2)中时，就有一个不成立），最后是绝对值不等式：
|a+b|≤|a|+|b|

在本证明中：
|a-b|=|a+(-b)|<=|a|+|-b|=|a|+|b|