Question

有关椭圆的题目，急急急！！！

已知：椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上一点M与左F1与X轴垂直，椭圆与X轴Y轴正半轴交于A,B,且AB平行于OM，离心率为二分之根二
求：过椭圆右焦点F2作AB垂线交椭圆于P,Q，若三角形F1PQ的面积为二十倍根三，求椭圆的方程

Answer 1

解：

∵OM‖AB，F1M=b²/a

∴F1M/F1O=OB/OA

b²/(ac)=b/a

即b=c，……①

离心率e=c/a=√2/2……②

∴a=√2c=√2b，b=c

AB的斜率是-b/a

∴PQ的斜率是k=a/b=√2

PQ的方程：y=√2(x-c)

代入椭圆方程，得

x²/(2c²)+2(x-c)²/c²=1

x²+4(x²+c²-2cx)=2c²

5x²-8cx+2c²=0

|x1-x2|=2√6c/5

|y1-y2|=√(1+k²)*|x1-x2|=6√2c/5

|F1F2|=2c

∵S△F1PQ=|F1F2|*|y1-y2|/2=6√2c²/5=20√3

∴c²=25√6/3

∴b²=25√6/3

a²=2c²=50√6/3

∴方程是：

x²/(50√6/3)+y²/(25√6/3)=1

即x²+2y²=50√6/3

谢谢