Question

设函数y=f(x)定义在R上,对于任意实数吗m,n,恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当X>0时，0<f(X)<1

1.求证：f（0）=1且当X<0时，f（X）>1
2.求证f（X）在R上是减函数

Answer 1

（1）令m=n=0 那么有f（0）=f（0)^2
则f（0）=0或1
若f（0）=0 那么令m=0 n>0那么f（m+n）=f（0+n）=f（0）f（n）=0
这样对于任何n>0都有f（n）=0 这与条件x>0时0<f(x)<1矛盾
所以f（0）=1

令n=-m 那么有f（m+n）=f（0）=f（m）f（-m）=1
所以f（m）和f（-m）互为倒数
设m属于0到正无穷 那么f（m）就在0到1之间
所以其倒数f（-m）就在1到正无穷上 所以当x<0时，有f(x)>1

（2）设n>0 那么对于对于实数m有f(m+n)=f(m)f(n)
因为n>0 所以f(n)在0到1之间
又因为函数f(x)在R上恒大于0 所以f(m+n)<f（m） 又m+n>m
所以对于任意实数x2>x1 都有f（x1）>f（x2）
所以函数f（x）在R上单调递减

Answer 2

当m=0,n=0时,代入f(m)*f(n)=f(m+n)。有f(0)*f(0)=f(0)。所以,f(0)=0或1.
当m=1,n=0时,代入f(m)*f(n)=f(m+n)。有f(1)*f(0)=f(1)。所以,f(0)≠0.
所以f(0)=1.

若x<0,则-x>0,则0<f(-x)<1.
当m=x,n=-x时,代入f(m)*f(n)=f(m+n)。
有f(x)*f(-x)=f(0)=1.
f(x)=1/f(-x)
所以f(x)>1.

2.
在-∞<x<+∞上，分为二部分讨论。当0<x<+∞时，由f(0)=1，
0<f(x)<1,有f(0)>f(x)，所以x>=0时，f(x)单调递减。当-∞<x<0时，设-∞<x1<x2<0，则f(x1+c)=f(x1)*f(c)，f(x2+c)=f(x2)*f(c)，其中c>0，因为
0<f(c)<1，显然有f(x1)=f(x1+c)/f(c)>f(x2)=f(x2+c)/f(c)，故f(x)在此区间上单调减。由上面可知，f(x)在R上单调减。
3.

Answer 3

（1）令m=n=0
那么有f（0）=f（0)^2
则f（0）=0或1
若f（0）=0
那么令m=0
n>0那么f（m+n）=f（0+n）=f（0）f（n）=0
这样对于任何n>0都有f（n）=0
这与条件x>0时0
1
（2）设n>0
那么对于对于实数m有f(m+n)=f(m)f(n)
因为n>0
所以f(n)在0到1之间
又因为函数f(x)在R上恒大于0
所以f(m+n)
m
所以对于任意实数x2>x1
都有f（x1）>f（x2）
所以函数f（x）在R上单调递减