为正实数，a+b+c=1.求证a^2+b^2+c^2≥1/3
2个回答
展开全部
证明：由基本不等式：ab<=(a^2+b^2)/2
ac<=(a^2+c^2)/2
bc<=(b^2+c^2)/2
∴2(ab+ac+bc)<=2(a^2+b^2+c^2) ①
对于：a+b+c=1, (a+b+c)²=1
展开，a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=1
∴2(ab+ac+bc)=1-[a^2+b^2+c^2] ②
由①② 3(a^2+b^2+c^2)>=1
∴ a^2+b^2+c^2≥1/3
ac<=(a^2+c^2)/2
bc<=(b^2+c^2)/2
∴2(ab+ac+bc)<=2(a^2+b^2+c^2) ①
对于：a+b+c=1, (a+b+c)²=1
展开，a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=1
∴2(ab+ac+bc)=1-[a^2+b^2+c^2] ②
由①② 3(a^2+b^2+c^2)>=1
∴ a^2+b^2+c^2≥1/3
本回答由提问者推荐
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
展开全部
a+b+c=1
(a+b+c)^2=1
(a^2+b^2+c^2)+(2ab+2bc+2ca)=1
而：a^2+b^2>=2ab
b^2+c^2>=2bc
c^2+a^2>=2ca
所以：
(a^2+b^2+c^2)+((a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2))>=1
3(a^2+b^2+c^2)>=1
a^2+b^2+c^2>=1/3
(a+b+c)^2=1
(a^2+b^2+c^2)+(2ab+2bc+2ca)=1
而：a^2+b^2>=2ab
b^2+c^2>=2bc
c^2+a^2>=2ca
所以：
(a^2+b^2+c^2)+((a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2))>=1
3(a^2+b^2+c^2)>=1
a^2+b^2+c^2>=1/3
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
