为正实数，a+b+c=1.求证a^2+b^2+c^2≥1/3
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证明：由基本不等式：ab<=(a^2+b^2)/2
ac<=(a^2+c^2)/2
bc<=(b^2+c^2)/2
∴2(ab+ac+bc)<=2(a^2+b^2+c^2) ①
对于：a+b+c=1, (a+b+c)²=1
展开，a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=1
∴2(ab+ac+bc)=1-[a^2+b^2+c^2] ②
由①② 3(a^2+b^2+c^2)>=1
∴ a^2+b^2+c^2≥1/3
ac<=(a^2+c^2)/2
bc<=(b^2+c^2)/2
∴2(ab+ac+bc)<=2(a^2+b^2+c^2) ①
对于：a+b+c=1, (a+b+c)²=1
展开，a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=1
∴2(ab+ac+bc)=1-[a^2+b^2+c^2] ②
由①② 3(a^2+b^2+c^2)>=1
∴ a^2+b^2+c^2≥1/3
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a+b+c=1
(a+b+c)^2=1
(a^2+b^2+c^2)+(2ab+2bc+2ca)=1
而：a^2+b^2>=2ab
b^2+c^2>=2bc
c^2+a^2>=2ca
所以：
(a^2+b^2+c^2)+((a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2))>=1
3(a^2+b^2+c^2)>=1
a^2+b^2+c^2>=1/3
(a+b+c)^2=1
(a^2+b^2+c^2)+(2ab+2bc+2ca)=1
而：a^2+b^2>=2ab
b^2+c^2>=2bc
c^2+a^2>=2ca
所以：
(a^2+b^2+c^2)+((a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2))>=1
3(a^2+b^2+c^2)>=1
a^2+b^2+c^2>=1/3
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