Question

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Answer 1

（I）由题意知 c/a=√2/2，2c=2，
∴a2=2,b2=1
所以x²/2+y²=1 ，
（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)
联立方程:
{x²/2+y²=1,
{y=k1-3/2,
得，(4k1+2)x²-4√3k1x-1=0
由题意知△>0，且x1+x2=4√3k1/(4k1+2)，x1▪x2=-1/(4k1+2)
所以▏AB▏=√(1-k²1)√△/▏(4k1+2)▏ .
由题意可知圆的半径为r=2√2/3▪√(1+k1)▪√(1+8k²1)/(2k²1+1)
由题设知k1▪k2=√2/4，
所以k2=√2/4k1，
因此直线OC的方程为y=√2/4k1x.
联立方程得，
{x²/2+y²=1,
{y=√2/4k1x.
得x2=8k²1/(1+4k1),y2=1/(1+4k1).
因此▏OC▏=√(x²2+y²2)=√[(1+8k²1)/(1+4k²1)]
由题意可知sin∠SOT/2=r/(r+▏OC▏)=1/(1+▏OC▏/r) ，
而▏OC▏/r=3√2/4▪(1+2k²1)/[(√1+4k²1)▪(√1+k²1)]，
令t=√(1+2k²1)，
则t>1，1/t∈(0,1）
因此 ▏OC▏/r=3/2▪1/√[-(1/t-1/2)²+9/4]≥1，
当且仅当1/t=1/2时等号成立，此时k=±√2/2，
所以sin∠SOT/2≤1/2 ，
因此∠SOT/2≤π/6，
所以∠SOT最大值为π/3.
综上所述：∠SOT的最大值为π/3，取得最大值时直线的斜率为K1=±√2/2.