Question

【超难初中几何】（高人来）4

已知：Rt△BAC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，点E，F分别是△ABD与△ACD的内心，直线EF交AB于M，AC于N。
1）求证：AM=AN
2）用AB，AC表示MN

（如果您没有看到图片，请不要离开，因为百度传图一向很慢）
【大家可以慢慢想，这个提问会持续十几天，即使只做出来一个也没关系】

谢谢大家了！【不好意思，我实在没分了】
梅西你太帅了，我等你！
最近牛人很多呀！因为梅西说他要等一会再发答案，所以在此之前，请大家等一等吧！
eπi，怎么证1/AH＝1/AB＋1/AC 呢？

Answer 1

很好的一道题
有时间会发答案上来

ok
开始证明
首先，有△ABD∽△CAD，然后由这个易得△DEF∽△ABC
于是有∠DFE=∠C，这样有D、F、N、C四点共圆
于是∠ANF=∠FDC=45°,即得⊿AMN为等腰直角三角形
连接CF，有∠FCD=∠FCN，于是DF=FN（等角对等弦）
于是连AF，易得△ANF≌△ADF(SSS)
于是有AM=AD=AN
这样我们就有：
MN=√2AM=√2AD，又∵AD=AB×AC÷BC=AB×AC÷√AB²+AC²
所以我们就有MN=√2AB×AC÷√AB²+AC²

此题背景：此题为29届IMO试题
原题题干与紫罗兰说的一样
证明的问题是2S⊿AMN≥S⊿ABC
证明方法与这个题类似
先证明AM=AD=AN，然后利用BC≥2AD直接用面积公式导出
等号在AB=AC即⊿ABC为等腰直角三角形时取得

谢谢，希望采纳啊
我快没有分了

Answer 2

不是很难，但挺经典，以前做过忘了，重新给你做了一遍，应该没错
过程写着很烦，简单点把大致写一下吧
先证△DCF∽△DAE，得DC/AD=FD/ED，然后易证△DEF∽△ABC
则∠DFE=∠C=∠BAD,可证AMDF四点共圆，∠AMF=∠ADF=45°
然后不管是同理还是全等都容易证AM=AN

第二道么就简单了，设AB=c，AC=b
勾股定理BC=，BD:DC=c^2:b^2，求得BD、BC后射影得AD=bc/√b^2+c^2
因为AM=AD=AN，等腰Rt△，所以MN=√2 AD=√2 bc/√b^2+c^2

我计算不好，看到式子头疼，所以第二题结果不知道对不对，但思路应该是没问题的

Answer 3

题不错，设AD与MN相交于点H，还可以证明1/AH＝1/AB＋1/AC

Answer 4

真难
只可惜我还没上高中