为什么说爱因斯坦能发现广义相对论
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1915年11月，爱因斯坦发表三篇划时代的论文，建立广义相对论。他晚年的时候经常说，他是通过最自然的数学方式得到了广义相对论的场方程。但是他在发展广义相对论期间做的笔记展示的是一个不同的故事。。。
这个月标志着爱因斯坦场方程发表100周年。场方程是广义相对论的顶石，也是爱因斯坦科学生涯中最闪亮的成就。空时曲线通过这些方程与物质的能量和动量联系起来。1915年11月25日爱因斯坦递交给Prusian
Academy of Sciences in
Berlin一篇四页的论文，这是爱因斯坦场方程的首次亮相。这篇论文收录在《爱因斯坦论文集》的第六卷（CPAE 6;
21）。爱因斯坦是怎么得到这些方程的？他后来坚持说引力方程“只能通过纯粹的正规化的原理（广义不变性）来获得”，这一表述与爱因斯坦后半段职业生涯中探索统一场论时所采用的策略是一致的。但是，如果用这一表述来描述爱因斯坦是如何建立广义相对论场方程的，则是高度误导的。
1915年11月的四个周四，爱因斯坦向柏林普鲁士科学院连续递交了四篇短的通讯文章（CPAE
6; 21, 22, 24,
25）。在11月4日的第一篇论文中，爱因斯坦用一组新的方程来替换他1913年发表的场方程，这组新的方程在更多类型的坐标变换下保持形式不变。在第二篇论文中，爱因斯坦采用了一个对物质属性的相当大胆的假设，这使他能够把第一篇论文中的方程变为一组广义共变的方程
–
即，在任意坐标变换下仍能保持方程形式的不变。在11月25日的第四篇文章中，他通过一个不同的但是更令人信服的方法得到了一组新的场方程，这组方程同样具有广义共变性。在第三篇文章中，依据第二篇文章中的场方程，他给出了关于“丢失的43弧秒”（牛顿理论下的计算与观测相比，水星近日点的进动每100回归年相差43弧秒）的解释。第四篇文章中的场方程的修正并不影响这一解释。
在11月的第一篇文章中，从旧的场方程到新的场方程，爱因斯坦给大家的感觉好像是夷平了一座大教堂然后在废墟上重建了一座风格完全不同的新的。旧的场方程是建立在物理学原理上的。新的场方程，爱因斯坦想让它的读者们相信，依据数学原理，“真正是微分学的胜利”（CPAE
6；21）。仔细地研究爱因斯坦的这四篇文章以及他给过的相关的回应，做个比喻的话，爱因斯坦在1913年场方程的基础上铺陈出了一个框架，进而在其上仔细地摆上了构成爱因斯坦场方程的拱石。
缺失的共变
在1913年11月之前的三年里，爱因斯坦与数学家马塞尔·格罗斯曼（Marcel
Grossmann）合作的时候就已经在思考第一篇论文里的场方程了。1912年两位当年的同学曾重回母校苏黎世联邦理工（ETH
Zürich）。两人合作时的笔记收录在“苏黎世笔记”里。如同在1915年11月的第一篇文章中回顾的，“笔记”里记录了他们“在沉重的心情下”放弃了以黎曼张量为基础的对场方程的寻找。挫败他们的是，对这些方程做出物理解释时发生了问题。1913年6月他们联合发表的一篇文章（CPAE
4；13）采用了特别设计的场方程以绕过那些问题。这篇文章的标题是Entwurf（“草案”，《广义相对论和引力理论纲要》），其中的理论和场方程因而也被命名为“草稿理论”和“草稿场方程”。
“草稿理论”具备了广义相对论的数学形式体系的所有基本元素，但是因为“草稿场方程”非常有限的共变性，爱因斯坦没管它叫“广义相对论”，而是很谨慎地把它称为“广义化的相对论”。
爱因斯坦遇到的部分困难，是从1912年底到1916年底，他把广义共变性和运动的广义相对性混在一起了。打个比方，如果两个城市间的最短路径是大圆上的一段圆弧，但是这条路径在另一种地图上也可以表达为直线，这样的操作相当于“广义共变”。但是不论在什么地图上显示为什么样的形状，那段圆弧总是最短的。类似的，广义共变性也不能把空时中的所有不同的路径变为等同，不能把所有不同的运动状态变为等同。
因此，在某种意义上，1915年11月具有广义共变性的场方程的建立是个没有意义的胜利。虽然广义相对论的名字给人以误导，但它确实是关于引力的强大的、新的理论。在等效原理的基础上，爱因斯坦在1918年给出了这一理论的成熟形式，即，空时几何与引力都应该用度量张量场来表达。
坐标的限定
1915年11月文章中的场方程，1912-1913的时候爱因斯坦和格罗斯曼就开始考虑了，爱因斯坦后来为什么放弃了它？很长时间里，历史学家认为他们两人那时不知道“坐标条件”（如何选择坐标系）。如果有两种场方程，其中一种具备广泛的共变性，而另一种只在有限类别的坐标系中具有共变性（比如，牛顿理论下的泊松方程），那么对它们做对比的话，必需在后者保持共变性的坐标中考虑前者。这些坐标要满足四个度量张量场方程，坐标条件给得合适的话，就能够把具有广泛共变性的方程中的很多项消掉，只剩下一项度量张量场的二阶微分，这一项将还原为牛顿理论在弱的静态场下的场方程。亚伯拉罕·派斯（Abraham
Pais）在他的著名的爱因斯坦科学传记中写道，“爱因斯坦仍旧需要意识到。。。对坐标的选择只是出于某种习惯或定义，不需要物理的内容。”
派斯没有查看过“苏黎世笔记”。实际上，爱因斯坦设定了度量张量场的四维散度为零，并在11月的第一篇文章中利用这个条件以及他的场方程的二阶微分来消除不需要的项，从而证明他的场方程具有正确的牛顿极限。所以，“苏黎世笔记”似乎无可争议地证明派斯上面那段话是不对的。
但是，到底为什么爱因斯坦放弃了11月第一篇文章中的场方程？约翰·诺顿（John
Norton）是第一个对“苏黎世笔记”做出研究的，诺顿在他的《广义相对论的创世纪》（The Genesis of General
Relativity）一书中认为，有可能是因为在旋转坐标系中，闵可夫斯基（Minkowski）空时的度量张量场不满足赫兹（Hertz）条件，即度量张量场的四维散度并不为零。令诺顿感到疑惑的是，爱因斯坦为什么认为这会是个问题。所以，派斯所说的也不完全算错。
1915年11月之前，爱因斯坦采用坐标条件的方式与现代方式是有根本区别的。在现代方式中，大家都知道“坐标条件”必须是“规范条件”。具体选择哪一种等效的度量张量取决于是否便于解决问题，不同的坐标适于不同的问题。但是，在“苏黎世笔记”以及“草稿理论”的整个范畴里，爱因斯坦用了个一刀切的方式：用一种坐标条件来解决所有的问题。
在《广义相对论的创世纪》中提到了“坐标的限定”。“坐标的限定”与“坐标条件”不同，“坐标的限定”是理论的组成部分，在理论中使用“坐标的限定”使得基本场方程不再具有广泛的共变性以及广义共变性，而是变成消掉了很多项之后的截断了的方程。“坐标的限定”与“坐标条件”的另一个区别是，爱因斯坦期望“坐标的限定”能够完成双重任务：他希望通过“坐标的限定”使场方程有正确的牛顿极限，同时还保持动量和能量的守恒。
爱因斯坦对“坐标限定”的使用使他遇到了问题：旋转度量张量不满足赫兹条件。他原本期望，在没有物质的情况下，旋转度量张量是场方程的解，由此便能将旋转坐标系里的惯性力解释为引力。“11月张量”本身在旋转度量下是可以消去的，但是，如果旋转度量不满足赫兹限制，那么在赫兹限制下做出截断之后，剩下的张量部分消不掉了。在写11月第一篇文章的时候，爱因斯坦认识到截断这事儿根本就不是个事儿。之后，他运用了赫兹条件，结果证明，建立在“11月张量”基础上的场方程有正确的牛顿极限，也就是说他的场方程允许变换到旋转坐标系。显然，1915年11月的时候爱因斯坦对赫兹条件的运用方式和“坐标条件”的现代运用方式是一样一样的。
在“苏黎世笔记”中，由“坐标限定”产生的截断是否具有共变性，爱因斯坦研究了“11月张量”在截断后获得的目标场方程的共变性。对于赫兹限定来说，似乎没什么可琢磨的。四维度量张量必须为零这一条件，只有在线性变换下才是共变的。按照爱因斯坦的说法，共变性可以有更广泛的范围。在给洛伦兹（Hendrik
A. Lorentz）的信中（CAPE 5; 467）爱因斯坦管这些变换叫“非自主变换（nonautonomous
transformations）”，在1914年的文章中（CAPE 6; 2,
9）称之为“适应于度量张量的坐标系间的合理变换（justified transformations between adapted
coordinates）”。对于普通的（或者自动的）变换，新的坐标只是旧的坐标的函数，而对于非自动的变换，新坐标既是旧坐标的函数，也是旧坐标度量张量的函数。
在爱因斯坦的最终理论中，坐标限定和非自动变换这些概念都滚到一边去了。但是，在“苏黎世笔记”以及“草稿理论”那篇文章里，爱因斯坦关心的核心问题，是确定他的坐标限定在足够多的非自主变换下能够保持共变性，从而实现对任意运动的一个相对论原理。这个目标本身实际上是虚幻的。
这个月标志着爱因斯坦场方程发表100周年。场方程是广义相对论的顶石，也是爱因斯坦科学生涯中最闪亮的成就。空时曲线通过这些方程与物质的能量和动量联系起来。1915年11月25日爱因斯坦递交给Prusian
Academy of Sciences in
Berlin一篇四页的论文，这是爱因斯坦场方程的首次亮相。这篇论文收录在《爱因斯坦论文集》的第六卷（CPAE 6;
21）。爱因斯坦是怎么得到这些方程的？他后来坚持说引力方程“只能通过纯粹的正规化的原理（广义不变性）来获得”，这一表述与爱因斯坦后半段职业生涯中探索统一场论时所采用的策略是一致的。但是，如果用这一表述来描述爱因斯坦是如何建立广义相对论场方程的，则是高度误导的。
1915年11月的四个周四，爱因斯坦向柏林普鲁士科学院连续递交了四篇短的通讯文章（CPAE
6; 21, 22, 24,
25）。在11月4日的第一篇论文中，爱因斯坦用一组新的方程来替换他1913年发表的场方程，这组新的方程在更多类型的坐标变换下保持形式不变。在第二篇论文中，爱因斯坦采用了一个对物质属性的相当大胆的假设，这使他能够把第一篇论文中的方程变为一组广义共变的方程
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即，在任意坐标变换下仍能保持方程形式的不变。在11月25日的第四篇文章中，他通过一个不同的但是更令人信服的方法得到了一组新的场方程，这组方程同样具有广义共变性。在第三篇文章中，依据第二篇文章中的场方程，他给出了关于“丢失的43弧秒”（牛顿理论下的计算与观测相比，水星近日点的进动每100回归年相差43弧秒）的解释。第四篇文章中的场方程的修正并不影响这一解释。
在11月的第一篇文章中，从旧的场方程到新的场方程，爱因斯坦给大家的感觉好像是夷平了一座大教堂然后在废墟上重建了一座风格完全不同的新的。旧的场方程是建立在物理学原理上的。新的场方程，爱因斯坦想让它的读者们相信，依据数学原理，“真正是微分学的胜利”（CPAE
6；21）。仔细地研究爱因斯坦的这四篇文章以及他给过的相关的回应，做个比喻的话，爱因斯坦在1913年场方程的基础上铺陈出了一个框架，进而在其上仔细地摆上了构成爱因斯坦场方程的拱石。
缺失的共变
在1913年11月之前的三年里，爱因斯坦与数学家马塞尔·格罗斯曼（Marcel
Grossmann）合作的时候就已经在思考第一篇论文里的场方程了。1912年两位当年的同学曾重回母校苏黎世联邦理工（ETH
Zürich）。两人合作时的笔记收录在“苏黎世笔记”里。如同在1915年11月的第一篇文章中回顾的，“笔记”里记录了他们“在沉重的心情下”放弃了以黎曼张量为基础的对场方程的寻找。挫败他们的是，对这些方程做出物理解释时发生了问题。1913年6月他们联合发表的一篇文章（CPAE
4；13）采用了特别设计的场方程以绕过那些问题。这篇文章的标题是Entwurf（“草案”，《广义相对论和引力理论纲要》），其中的理论和场方程因而也被命名为“草稿理论”和“草稿场方程”。
“草稿理论”具备了广义相对论的数学形式体系的所有基本元素，但是因为“草稿场方程”非常有限的共变性，爱因斯坦没管它叫“广义相对论”，而是很谨慎地把它称为“广义化的相对论”。
爱因斯坦遇到的部分困难，是从1912年底到1916年底，他把广义共变性和运动的广义相对性混在一起了。打个比方，如果两个城市间的最短路径是大圆上的一段圆弧，但是这条路径在另一种地图上也可以表达为直线，这样的操作相当于“广义共变”。但是不论在什么地图上显示为什么样的形状，那段圆弧总是最短的。类似的，广义共变性也不能把空时中的所有不同的路径变为等同，不能把所有不同的运动状态变为等同。
因此，在某种意义上，1915年11月具有广义共变性的场方程的建立是个没有意义的胜利。虽然广义相对论的名字给人以误导，但它确实是关于引力的强大的、新的理论。在等效原理的基础上，爱因斯坦在1918年给出了这一理论的成熟形式，即，空时几何与引力都应该用度量张量场来表达。
坐标的限定
1915年11月文章中的场方程，1912-1913的时候爱因斯坦和格罗斯曼就开始考虑了，爱因斯坦后来为什么放弃了它？很长时间里，历史学家认为他们两人那时不知道“坐标条件”（如何选择坐标系）。如果有两种场方程，其中一种具备广泛的共变性，而另一种只在有限类别的坐标系中具有共变性（比如，牛顿理论下的泊松方程），那么对它们做对比的话，必需在后者保持共变性的坐标中考虑前者。这些坐标要满足四个度量张量场方程，坐标条件给得合适的话，就能够把具有广泛共变性的方程中的很多项消掉，只剩下一项度量张量场的二阶微分，这一项将还原为牛顿理论在弱的静态场下的场方程。亚伯拉罕·派斯（Abraham
Pais）在他的著名的爱因斯坦科学传记中写道，“爱因斯坦仍旧需要意识到。。。对坐标的选择只是出于某种习惯或定义，不需要物理的内容。”
派斯没有查看过“苏黎世笔记”。实际上，爱因斯坦设定了度量张量场的四维散度为零，并在11月的第一篇文章中利用这个条件以及他的场方程的二阶微分来消除不需要的项，从而证明他的场方程具有正确的牛顿极限。所以，“苏黎世笔记”似乎无可争议地证明派斯上面那段话是不对的。
但是，到底为什么爱因斯坦放弃了11月第一篇文章中的场方程？约翰·诺顿（John
Norton）是第一个对“苏黎世笔记”做出研究的，诺顿在他的《广义相对论的创世纪》（The Genesis of General
Relativity）一书中认为，有可能是因为在旋转坐标系中，闵可夫斯基（Minkowski）空时的度量张量场不满足赫兹（Hertz）条件，即度量张量场的四维散度并不为零。令诺顿感到疑惑的是，爱因斯坦为什么认为这会是个问题。所以，派斯所说的也不完全算错。
1915年11月之前，爱因斯坦采用坐标条件的方式与现代方式是有根本区别的。在现代方式中，大家都知道“坐标条件”必须是“规范条件”。具体选择哪一种等效的度量张量取决于是否便于解决问题，不同的坐标适于不同的问题。但是，在“苏黎世笔记”以及“草稿理论”的整个范畴里，爱因斯坦用了个一刀切的方式：用一种坐标条件来解决所有的问题。
在《广义相对论的创世纪》中提到了“坐标的限定”。“坐标的限定”与“坐标条件”不同，“坐标的限定”是理论的组成部分，在理论中使用“坐标的限定”使得基本场方程不再具有广泛的共变性以及广义共变性，而是变成消掉了很多项之后的截断了的方程。“坐标的限定”与“坐标条件”的另一个区别是，爱因斯坦期望“坐标的限定”能够完成双重任务：他希望通过“坐标的限定”使场方程有正确的牛顿极限，同时还保持动量和能量的守恒。
爱因斯坦对“坐标限定”的使用使他遇到了问题：旋转度量张量不满足赫兹条件。他原本期望，在没有物质的情况下，旋转度量张量是场方程的解，由此便能将旋转坐标系里的惯性力解释为引力。“11月张量”本身在旋转度量下是可以消去的，但是，如果旋转度量不满足赫兹限制，那么在赫兹限制下做出截断之后，剩下的张量部分消不掉了。在写11月第一篇文章的时候，爱因斯坦认识到截断这事儿根本就不是个事儿。之后，他运用了赫兹条件，结果证明，建立在“11月张量”基础上的场方程有正确的牛顿极限，也就是说他的场方程允许变换到旋转坐标系。显然，1915年11月的时候爱因斯坦对赫兹条件的运用方式和“坐标条件”的现代运用方式是一样一样的。
在“苏黎世笔记”中，由“坐标限定”产生的截断是否具有共变性，爱因斯坦研究了“11月张量”在截断后获得的目标场方程的共变性。对于赫兹限定来说，似乎没什么可琢磨的。四维度量张量必须为零这一条件，只有在线性变换下才是共变的。按照爱因斯坦的说法，共变性可以有更广泛的范围。在给洛伦兹（Hendrik
A. Lorentz）的信中（CAPE 5; 467）爱因斯坦管这些变换叫“非自主变换（nonautonomous
transformations）”，在1914年的文章中（CAPE 6; 2,
9）称之为“适应于度量张量的坐标系间的合理变换（justified transformations between adapted
coordinates）”。对于普通的（或者自动的）变换，新的坐标只是旧的坐标的函数，而对于非自动的变换，新坐标既是旧坐标的函数，也是旧坐标度量张量的函数。
在爱因斯坦的最终理论中，坐标限定和非自动变换这些概念都滚到一边去了。但是，在“苏黎世笔记”以及“草稿理论”那篇文章里，爱因斯坦关心的核心问题，是确定他的坐标限定在足够多的非自主变换下能够保持共变性，从而实现对任意运动的一个相对论原理。这个目标本身实际上是虚幻的。
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