Question

如图1，在等腰梯形ABCD中，AD‖BC，E是AB的中点，过点E作EF‖BC交CD于点F。AB=4，BC=6，∠B=60°

点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN‖AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x
①当点N在线段AD上时，△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长，若改变，说明理由
②当点N在线段DC上时，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值，若不存在，说明理由

Answer 1

①0《X《1时，C△PMN不变，答案为4+根号3+根号7。。。△PMN为钝角三角形

②PM不变，PM=根号3，使△PMN为等腰三角形，即PM=MN或者PM=PN
⑴PM=MN=根号3（N在CF上）
∵MN=根号3，且△MNC为等边三角形。
∴MC=MN=根号3
过E点作垂线交BC于Q
经计算，BQ=1
∴EP=BC-MC-BQ
=6-1-根号3
=5-根号3
⑵PM=PN=根号3
过程唔米几识写，不过答案为2（提示：N在FD上）
图最好分开画，或者画大一点。

Answer 2

1）过A做BC垂线垂足为G
因为：AB=4，BC=6，AD=2
则△AGB为直角三角形
易知∠ABG=60°
AB=4，BG=2 则AG=2√3
则E到BC的距离即为 1/2*AG=√3
（2）①△PMN的周长
C=PM+MN+PN=1/2*AG+AB+PN
=√3+4+PN
延长MP垂直于AD于H点，MN交EF与J点
△MPJ相似与△MHN
易求得PJ=1，则GN=2，且GP=√3
勾股定理：GN^2+GP^2=PN^2
PN=√7
你初三吧，哈哈，我也在写这题诶！！！

Answer 3

设EP=x
解：（1）如图1，过点E作EG⊥BC于点G．
∵E为AB的中点，
∴BE=1 2 AB=2
在Rt△EBG中，∠B=60°，∴∠BEG=30度．
∴BG=1 2 BE=1，EG= 2²-1²= 根号3
即点E到BC的距离为 根号3

（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．
∵PM⊥EF，EG⊥EF，
∴PM∥EG，又EF∥BC，
∴四边形EPMG为平行四边形，
∴EP=GM，PM=EG= 3
同理MN=AB=4．
如图2，过点P作PH⊥MN于H，
∵MN∥AB，
∴∠NMC=∠B=60°，∠PMH=30度．
∴PH=½ PM= 根号3/2∴MH=PM•cos30°=3/2
则NH=MN-MH=4-3 /2 =5 /2
在Rt△PNH中，PN= NH2+PH2 = (5 /2 )2+( 3 / 2 )2 = 7
∴△PMN的周长=PM+PN+MN= 3 + 7 +4

②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．
当PM=PN时，如图3，作PR⊥MN于R，则MR=NR．
类似①，MR=3 /2 ，
∴MN=2MR=3．
∵△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=3．
此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2．
当MP=MN时，
∵EG= 根号3 ，
∴MP=MN= 3 ，
∵∠B=∠C=60°，
∴△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=MP= 根号3
此时，x=EP=GM=6-1- 根号3 =5-根号 3 ，
当NP=NM时，如图5，∠NPM=∠PMN=30度．
则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，
∴∠PNM+∠MNC=180度．
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．
∴MC=PM•tan30°=1．
此时，x=EP=GM=6-1-1=4．
综上所述，当x=2或4或（5- 根号3 ）时，△PMN为等腰三角形．

Answer 4

（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．∵PM⊥EF，EG⊥EF，∴PM∥EG，又EF∥BC，∴四边形EPMG为平行四边形，∴EP=GM，PM=EG= 3 同理MN=AB=4．如图2，过点P作PH⊥MN于H，∵MN∥AB，∴∠NMC=∠B=60°，∠PMH=30度．∴PH=½ PM= 根号3/2∴MH=PM•cos30°=3/2则NH=MN-MH=4-3 /2 =5 /2 在Rt△PNH中，PN= NH2+PH2 = (5 /2 )2+( 3 / 2 )2 = 7 ∴△PMN的周长=PM+PN+MN= 3 + 7 +4
②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．当PM=PN时，如图3，作PR⊥MN于R，则MR=NR．类似①，MR=3 /2 ，∴MN=2MR=3．∵△MNC是等边三角形，∴MC=MN=3．此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2．当MP=MN时，∵EG= 根号3 ，∴MP=MN= 3 ，∵∠B=∠C=60°，∴△MNC是等边三角形，∴MC=MN=MP= 根号3 此时，x=EP=GM=6-1- 根号3 =5-根号 3 ，当NP=NM时，如图5，∠NPM=∠PMN=30度．则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，∴∠PNM+∠MNC=180度．因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．∴MC=PM•tan30°=1．此时，x=EP=GM=6-1-1=4．综上所述，当x=2或4或（5- 根号3 ）时，△PMN为等腰三角形．