Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数）,x属于R，F(x)=f(x),x>0或-f(x),x<0.

(1)若不等式f(x)>4的解集为x<-3或x>1求F(x)的表达式
(2)在(1)的条件下，当x属于[-1,1]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围
(3)设mn<0,m+n>0,a>0，且f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)能否大于零

Answer 1

(1)
f(x)=ax^2+bx+1
不等式f(x)>4的解集为x<-3或x>1,
那么f(x)=4的两个根分别是-3和1.并且开口向上,即a>0
代入-3,1 解得a=1.b=2
所以f(x)=x^2+2x-3,F(x)=x^2+2x-3,(x>0)
F(x)=-x^2-2x+3,(x<0)
(2)
求导g'(x)=2x+2-k.若g是单调函数.
那么有g'(x)恒大于0.或恒小于0.其中x属于[-1,1]
若恒大于0,则k<2x+2,对任意的x都要满足,只有小于代入x的最小值.
所以k<0.
同理,若恒小于0.则k>2x+2.大于代入x的最大值.
即k>4.
(3)
若f(x)为偶函数,那么必有b=0.(可根据f(x)=f(-x)得到)
于是f(x)=ax^2+1(a>0)≥1>0
由于F(x)=f(x),x>0或-f(x),x<0.
显然此时F(x)是奇函数,并且在(-无穷大,0)和(0,无穷大)单调递增.
mn<0,m+n>0,可得m>-n并且属于(-无穷大,0)和(0,无穷大)其中一个.
于是F(m)>F(-n)
所以F(m)+F(n)=F(m)-F(-n)>0
有不懂可以再找我