Question

两道高一数学题！

Ⅰ设f（x）是定义在【-1,1】上的奇函数，对任意a，b∈【-1，1】 当a+b≠0时，a+b分之f（a）+f（b）＞0
①若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小
②解不等式：f（3x）＜f（2x+1）

Ⅱ已知定义域为R的函数f（x）满足f[f（x）－x2+x]=f（x）－x2+x，
①若f（2）=3，求f（1），又f（0）=a，求f（a）
②设有求仅有一个实数x。，使得f（x。）=x。，求函数f（x）的解析式
求具体步骤，万分感谢！

Answer 1

设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,对任意a,b∈[-1,1],当a+b≠0时，都有 [f(a)+f(b)]/(a+b)＞0.
1)若a＞b，比较f(a)和f(b)的大小
2)解不等式f(x-1/2)＜f(2x-1/4)
解：
当a+b≠0时，都有 [f(a)+f(b)]/(a+b)＞0，
因为f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,即[f(a)-f(-b)]/(a-(-b))＞0.
所以对于任意x∈(-1,1),(x+Δx)∈(-1,1),
由于a,b的任意性，令x+Δx=a，x=-b，
则a+b=Δx≠0，[f(x+Δx)-f(x)]/Δx＞0.
所以f′(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx＞0，
即对于任意x∈(-1,1),f′(x)＞0，所以f(x)单调增加.
1)若a＞b，f(a)＞f(b)；
2)为使f(x-1/2)＜f(2x-1/4)，须
x-1/2＜2x-1/4，①
-1≤x-1/2＜1，②
-1＜2x-1/4≤1，③
联立解得-1/4＜x≤5/8.

解：（I）因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x^2＋x
所以f(f(2)－2^2＋2)＝f(2)－2^2＋2
又由f(2)＝3，得 f (3－2^2＋2)＝3－2^2＋2，即 f(1)＝1
若f(0)＝a，则f (a－0^2＋0)＝a－0^2＋0，即 f(a)＝a
（Ⅱ）因为对任意x∈R，有f(f(x)－x^2＋x)＝f (x)－x^2＋x
又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)＝x0
所以对任意，有f(x)－x^2＋x＝x0
在上式中令x＝x0，有f(x0)－x0^2＋x0＝x0
又因为f(x0)＝x0，所以－x0^2 ＝0，故x0＝0或x0＝1
若x0＝0，则f(x)－x^2＋x＝0，即f(x)＝x^2－x
但方程x^2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故x0≠0
若x0＝1，则有则f (x)－x^2＋x＝1，即f (x)＝x^2－x＋1。易验证函数满足题设条件。
综上，所以函数为f(x)＝x^2－x＋1（x∈R）

Answer 2

1，①a+b分之f（a）+f（b）＞0说明：a>-b时，f(a)>-f(b)由于f(x)是奇函数，即f(a)>f(-b),所以f(x)是增函数，所以f(a)>f(b)
②-1<=3x<2x+1<=1解得，-1/3<=x<=0
2,①令x=2,则f[f(2)-4+2]=f(2)-4+2得f(1)=1;
若f(0)=a,令x=0,则f[f(0)]=f(0),得f(a)=a