Question

高数泰勒公式应用





Answer 1

将f(t)在x点泰勒展开
f(t)=f(x)+f'(x)(t-x)+f''(ξ)/2*(t-x)^2，其中ξ介于t和x之间
令t=x+h
f(x+h)=f(x)+hf'(x)+f''(ξ)/2*h^2，其中ξ介于x+h与x之间
f(x)+hf'(x+θh)=f(x)+hf'(x)+f''(ξ)/2*h^2
f'(x+θh)=f'(x)+hf''(ξ)/2
[f'(x+θh)-f'(x)]/(θh)=f''(ξ)/(2θ)
因为lim(h->0)[f'(x+θh)-f'(x)]/(θh)=f''(x)，且lim(h->0)ξ=x
所以根据极限的四则运算
lim(h->0)θ=[lim(h->0)f''(ξ)/2]/{lim(h->0)[f'(x+θh)-f'(x)]/(θh)}
=[f''(x)/2]/[f''(x)]
=1/2