Question

求解中间定积分取值范围

求解中间定积分取值范围因为我们老师讲的是这样算的方法，最好用我这方法算

Answer 1

注意到积分曲线关于x,y,z是轮换对称的，因此有
∮x²ds=∮y²ds=∮z²ds=(1/3)∮(x²+y²+z²)ds=(1/3)∮a² ds
∮xds=∮yds=∮zds=(1/3)∮(x+y+z)ds=(1/3)∮0 ds=0

因此本题
∮(x²+2y+1) ds

=∮x² ds + 2∮y ds +∮1 ds
=(1/3)∮a² ds + ∮1 ds
=[(a²/3)+1]∮1 ds
被积函数为1，积分结果为曲线弧长，这个曲线是一个球大圆，长度为2πa
=2πa[(a²/3)+1]