Question

一道高数题，求大神

一道高数题，求大神要过程
第一问

Answer 1

（1）令F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)在[0,1]上连续且可导
令g(x)=x[F(1)-F(x)]，则g(x)在[0,1]上连续且可导
因为g(0)=0，g(1)=0，所以根据罗尔定理，存在ξ∈(0,1)，使得g'(ξ)=0
F(1)-F(ξ)+ξ*[-F'(ξ)]=0
F(1)-F(ξ)-ξf(ξ)=0

ξf(ξ)=F(1)-F(ξ)=∫(ξ,1) f(x)dx
证毕
（2）令h(x)=xf(x)-∫(x,1)f(t)dt，则h(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导
h'(x)=f(x)+xf'(x)+f(x)=xf'(x)+2f(x)>-2f(x)+2f(x)=0

所以h(x)在[0,1]上严格单调递增
因为由上题，存在ξ∈(0,1)，使得h(ξ)=0
所以ξ是唯一的