Question

已知函数y=√(2x²+1),(x>0),数列{an}满足:a1=1,且an=f(a(n-1)),(n≥2,n∈N*)

⑴写出数列的前5项，并猜想数列{an}的表达式；
⑵若b1=2/（a1+a2），b2=2²/（a2+a3），…，
bn=2^n/(an+a(n+1)),试求数列{bn}的前n项和Sn。

Answer 1

《1》
a1=1,a2=√3，a3=√7,a4=√15,a5=√31
猜想an=√2^n-1
《2》
下用数学归纳法证明an=√2^n-1
当n=1时，a1=1成立
假设当n=k时，ak=√2^k-1成立
则当n=k+1时，ak+1=√2(√2^k-1）^2+1)=√2^(k+1)-1成立
故an=√2^n-1
由题意：bn=2^n/an+an+1 分母有理化之后得到
bn=[√2^(n+1)-1]-[√2^n-1]=an+1-an
所以前n项和Sn=b1+b2+...+bn
=(a2-a1)+(a3-a2）+...+(an+1-an)
=an+1 -a1
=[√2^(n+1)-1]-1
开根号用√表示，看起来可能比较费劲。