Question

求微分方程x∧2dy+（y-2xy-x∧2）dx=0的通解

Answer 1

x^2dy+(y^2-2xy-x^2)dx=0,①(改题了)
设y=tx,则dy=xdt+tdx,代入①，得x^3dt+x^2(t^2-t-1)dx=0,
分离变量得dt/(t^2-t-1)=-dx/x,
1/√5*ln{[t-(1+√5)/2]/[t-(1-√5)/2]}=-lnx+lnc,
∴[t-(1+√5)/2]/[t-(1-√5)/2]=(c/x)^(√5），
解得t=[(1+√5)/2-(1-√5）/2*(c/x)^(√5)]/[1-(c/x)^（√5）],
∴y=x[(1+√5)/2-(1-√5）/2*(c/x)^(√5)]/[1-(c/x)^（√5）].

追问

不改题我也会做啊，我就是想问那个题怎么做

追答

知道了。

Answer 2

解：∵x²dy+(y-2xy-x²)dx=0
==>e^(-1/x)dy/x²+(y-2xy-x²)e^(-1/x)dx/x^4=0
(等式两端同乘e^(-1/x)/x^4)
==>e^(-1/x)dy/x²+y(1-2x)e^订海斥剿俪济筹汐船搂(-1/x)dx/x^4=e^(-1/x)dx/x²
==>e^(-1/x)dy/x²+yd[e^(-1/x)/x²]=e^(-1/x)d(-1/x)
==>d[ye^(-1/x)/x²]=d[e^(-1/x)]
==>ye^(-1/x)/x²=e^(-1/x)+c
(c是积分常数)
==>ye^(-1/x)=x²[e^(-1/x)+c]
==>y=x²[1+ce^(1/x)]
∴原方程的通解是y=x²[1+ce^(1/x)]
(c是积分常数)。