Question

定积分题目

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Answer 1

周期2π，共11.14084602个周期，（2kπ-π/2，2kπ+π/2）的-cosx，与（2kπ+π/2，2kπ+3π/2）的cosx相等，互相抵消；（2kπ-π/2，2kπ+π/2）的cosx，与（2kπ+π/2，2kπ+3π/2）的-cosx相等，互相抵消；每个周期积分为0；
每半个周期也是互相抵消，（0~π/2）的cosx与（π/2~π）的-cosx相等，互相抵消；（0~π/2）的-cosx与（π/2~π）的cosx相等，互相抵消。
70/π=22.28169203，余数0.28169203
积分=∫（22π，70）（3^cosx-3^-cosx)dx=∫（0，70-22π）（3^cosx-3^-cosx)dx
=1.988411268

Answer 2

约定:∫[a,b] 表示求[a,b]区间上的定积分。
∫[0,π](3^cosx-3^(-cosx))dx 设x=t+π/2
=∫[-π/2,π/2](3^cos(t+π/2)-3^(-cos(t+π/2)))d(t+π/2)
=∫[-π/2,π/2](3^(-sint)-3^sint)dt
设f(t)=3^(-sint)-3^sint
f(-t)=3^(-sin(-t))-3^sin(-t)
=3^sint-3^(-sint)
=-f(t)
得f(t)是奇函数
所以 ∫[0,π](3^cosx-3^(-cosx))dx
=∫[-π/2,π/2]f(t)dx
=0