Question

高数微分方程的一个应用题

高数微分方程的一个应用题如图

Answer 1

要点
（1）注入的是纯水；
（2）抽出的12L/s，注入6L/s，体积减少6L/s，
设t时刻，容器中混合液的量是V升
V（t）=V0-6t=600-6t（L）
设t时刻，混合液中氯的浓度是p（t），t~t+dt时间内，排出的含氯水12dt升，加入的清水是6dtL，V（t）=600-6t，V（t+dt）=600-6（t+dt）=600-6t-6dt，
假设在dt时间内，满足线性关系，t时刻，含氯量p（t）V（t），dt时间后含氯量p（t+dt）V（t+dt），排出氯12（P（t）+P（t+dt））/2.dt
p（t）V（t）-p（t+dt）V（t+dt）=12（P（t）+P（t+dt））/2.dt
p（t+dt）=p（t）+dp代入
p（t）（600-6t）-p（t+dt）（600-6t-6dt）=6（2P（t）+dp）dt
600p-6pt-（p+dp）（600-6t-6dt）=12pdt+6dpdt
600p-6pt-600（p+dp）+6t（p+dp）+6（p+dp）dt=12pdt+6dpdt
600p-6pt-600p-600dp+6tp+6tdp+6pdt+6dpdt=12pdt+6dpdt
-600dp+6tdp-6pdt=0
（-600+6t）p'-6p=0
（-100+t）p'=p
p'/p=1/(-100+t)=-1/(100-t)
lnp=ln(t-100)+C1=lnC2(t-100)
p=C2(t-100)
t=0,p=0.08g/L
0.08=C2(-100),C2=-0.08%
代入：
p=-0.08%（t-100）=0.08-0.08%t
m(t)=p(t)V(t)=(0.08-0.08%t)(600-6t)
=0.08%(100-t)6(100-t)
=0.48%(100-t)²