Question

同济大学编的大学高数第六版上册的一个定理证明的过程有个步骤看不明白，求解

函数极限局部保号性证明，若f(x)在X趋向X0时存在极限为A,且A＞0（或者A＜0）,那么存在常数B,使得当0＜|X－X0|＜B时，f(x)＞0(或者f(x)＜0).
就A＞0情况进行证明，因为f(x)在X趋向X0时的极限是A＞0.所以取C＝A/2 ＞0,则存在B＞0，当0＜|X－X0|＜B时，有|f(x)－A|＜A/2推出f(x)＞A－A/2即f(x)＞A/2＞0.证明完毕。该过程中把去绝对值的部分我不清楚为什么这么去绝对值（即为何知道f(x)－A的正负性），望求解

Answer 1

对于实数而言 |u| < v 可以等价地展开成 -v < u < v, 而不用知道 u 的符号

在你这个例子里 |f(x)-A| < A/2 展开成 -A/2 < f(x)-A < A/2, 接下来只要用左边的一半 -A/2 < f(A)-A 就得到 f(A)-A/2 > 0