Question

一道高一数学题 急啊

已知二次函数f（x）满足f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）的表达式。

Answer 1

解：因为二次函数f（x）满足f（0）=0
所以设f（x）=ax^2+bx
则f（x+1）=a（x+1）^2+b（x+1）=ax^2+（2a+b）x+a+b
又f（x+1）=f（x）+x+1=ax^2+bx+x+1=ax^2+（b+1）x+1
比较对应项系数得：a=a,
2a+b=b+1,
a+b=1
解得： a=1/2=0.5 b=1/2=0.5
所以 f（x）=0.5x^2+0.5x

Answer 2

f(x+1)=f(x)+x+1;f(x)=f(x-1)+x-1+1;f(x-1)=f(x-2)+x-2+1；…………等式左右分别相加，则f(x+1)=f(0)+(0+1+…x）+x+1=(x+2)(x+1)/2
f(x)=x*(x+1)/2
注：此题做法不算严谨，为不失一般性，可以用f(x+1-a)=f(x-a)+x-a+1进行迭代计算，结果都是一样的，a可以无限小。

Answer 3

f(x)=f(x-1)+x=f(x-2)+x+x-1=....=f(0)+x+x-1+x-2+...+1
=x(x+1)/2

Answer 4

设f(x)=ax²+bx+c
∵f(0)=0
∴c=0
因为f(x)=ax²+bx

令x=-1有
f(0)=f(-1)-1+1
0=f(-1) ①

令x=-2有
f(-1)=f(-2)-2+1
0=f(-2)-1
f(-2)=1 ②

由①②由:
a-b=0
4a-2b=1
解得a=1/2 b=1/2
所以
f(x)=1/2 x² +1/2 x

Answer 5

y=ax²+bx+c
f（x+1）=f（x）+x+1
f（－1+1）=f（－1）－1+1
f(0)=f(-1)=0
x=0,y=0 x=-1,y=0
f(1)=f(0+1)=f(0)+0+1=1
x=1,y=1
y=（1/2）x²＋(1/2)x