Question

已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数，又是减函数。证明:

已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数，又是减函数。证明:对任意x1，x2∈[-1,1],有
[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)≤0

Answer 1

证明：

x2∈[-1,1]，则-x2∈[-1,1]

f(x)是奇函数，则f(x2)=-f(-x2)

不放设x1＞ -x2，则

x1-(-x2)＞0，即x1+x2＞0

f(x)是减函数，则

f(x1)-f(-x2)＜0

即f(x1)+f(x2)＜0

∴[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)＜0

当等号成立时，f(x1)+f(x2)=0，且x1+x2≠0

f(x1)=-f(x2)

f(x1)=f(-x2)

由于函数是单调的，所以x1=-x2

此时x1+x2=0，矛盾

所以等号不可能成立

也就是说：

对任意x1，x2∈[-1,1],有
成立，

可是这时也可以说证明：

x2∈[-1,1]，则-x2∈[-1,1]

f(x)是奇函数，则f(x2)=-f(-x2)

不放设x1＞ -x2，则

x1-(-x2)＞0，即x1+x2＞0

f(x)是减函数，则

f(x1)-f(-x2)＜0

即f(x1)+f(x2)＜0

∴[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)＜0

当等号成立时，f(x1)+f(x2)=0，且x1+x2≠0

f(x1)=-f(x2)

f(x1)=f(-x2)

由于函数是单调的，所以x1=-x2

此时x1+x2=0，矛盾

所以等号不可能成立

也就是说：

对任意x1，x2∈[-1,1],有
[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)≤0恒成立

得证

谢谢

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