Question

为什么每一个含有第一类间断点的函数没有原函数

Answer 1

有导数连续定理。

设f(x)在x0的某个邻域上连续，且在该邻域上除去x0这一点之外都可导，其导数为f'(x)。如果当x趋于x0时f'(x)有极限，则f(x)在x0这一点也可导，并且有f'(x0)=lim(x→x0)f'(x)。

根据这个定理我们马上知道，如果一个函数在某个区间上可导，它的导数在该区间上不会有第一类间断点。换句话说，在区间上有第一类间断点就没有原函数。

间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。左右极限存在且相等是可去间断点，左右极限存在且不相等才是跳跃间断点。

扩展资料：

函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。

由上述对间断点的描述可知，函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在，而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在，这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。

函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

参考资料来源：百度百科——间断点

Answer 2

有导数连续定理。
设f(x)在x0的某个邻域上连续，且在该邻域上除去x0这一点之外都可导，其导数为f'(x)。如果当x趋于x0时f'(x)有极限，则f(x)在x0这一点也可导，并且有f'(x0)=lim(x→x0)f'(x)。
根据这个定理我们马上知道，如果一个函数在某个区间上可导，它的导数在该区间上不会有第一类间断点。换句话说，在区间上有第一类间断点就没有原函数。

追问

没听懂

能不能借助题中的函数说明

追答

第一类间断点是什麼?是左右极限都存在.
①当左右极限存在且相等,即在x0这一点是可去间断点时,若f(x)存在原函数F(x),则根据定理,F(x)在x0这一点也可导并且导函数f(x)在x0处连续.这和x0是间断点矛盾
②当左右极限存在但不等,即x0是跳跃间断点时,若f(x)存在原函数F(x),则根据定理,f(x)在x0处的左极限就是F(x)在x0处的左导数;f(x)在x0处的右极限就是F(x)在x0处的右导数.不妨设左右导数分别为A,B,根据可导必连续,lim(x→x0-)F(x)=A,lim(x→x0+)F(x)=B,因此F(x)在x0处不连续.不连续就不可导,与假设f(x)存在原函数F(x)矛盾.
这道题就是第二种情况

第②种情况说错了，更正一下。
②当左右极限存在但不等,即x0是跳跃间断点时,若f(x)存在原函数F(x),则根据定理,F(x)在x0的左导数是f(x)在x0的左极限,F(x)在x0的右导数是f(x)在x0的右极限.因为F(x)在x0处可导,即左右导数相等,得f(x)在x0处的左右极限也相等,这和x0是跳跃间断点矛盾.

Answer 3