Question

初二数学题 几何 急！！

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰三角形；③S四边形AEPF=二分之一S△ABC；④EF=AP。当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有：

（2）选择其中两个正确结论给予证明

Answer 1

（1） ①，②，③，
（2） ①：
证明：
连接AP
∵∠BAC=90°
AB=AC
∴△ABC为等腰Rt△
∴∠C=∠B=45°
∴AP为△ABC中线，角平分线，高线（等腰三角形三线合一）
∴∠PAC=∠PAB＝45°
＝∠C
∴AP=PC
∵∠EPF=90°
∴∠BPE+∠FPC=90°
∵AP为△ABC高线
∴APB=90°
∴∠BPE+∠APE=90°
又∠BPE+∠FPC=90°
∴∠APE=∠FPC
在△APE和△CPF中
∠PAB=∠C
AP=PC
∠APE=∠FPC
∴△APE≌△CPF（ASA）
∴AE=CF
②证明∵△APE≌△CPF
∴EP=FP
∴△EPF是等腰三角形

Answer 2

只有④不正确
连结AP
∴∠APC＝90°＝∠EPF
∴∠APE＝∠FPC
∵∠PAE＝∠C＝45°，PA＝PC
∴△PAE≌△PFC
∴AE＝CF，PE＝PF，S△PAE＝S△PFC
∴S四边形AEPF＝S△PAE＋S△PAF＝S△PFC＋S△PAF＝S△PAC＝1/2S△ABC
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时，EF的长度不断变化，而AP始终等于1/2BC，故二者不一定相等

Answer 3

除4外都对，证明时连结AP

Answer 4

正确的有：②