Question

非齐次方程的一个特解加齐次方程的一个特解还是非齐次的一个特解吗？

非齐次方程的一个特解加齐次方程的一个特解还是非齐次的一个特解吗？书上这道题的方法二，只写了谁谁谁的解，现在一时糊涂分不清到底是特解还是通解？还是说以后这种谁谁谁的解都表示是特解？求学霸指点(当局者迷啊😭)

Answer 1

一个非齐次方程的特解加对应齐次方程的的特解，得到的还是非齐次方程的特解，假设y1是非齐次的特解，y2是齐次的特解。y1'+f(x)y1=g(x)y2'+f(x)y2=0(y1'+y2')+f(x)(y1+y2)=g(x)所以y1+y2是非齐次的特解。

解的存在性

非齐次线性方程组

 有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）

Answer 2

一个非齐次方程的特解加对应齐次方程的的特解，得到的还是非齐次方程的特解，假设y1是非齐次的特解，y2是齐次的特解。y1'+f(x)y1=g(x)y2'+f(x)y2=0(y1'+y2')+f(x)(y1+y2)=g(x)所以y1+y2是非齐次的特解。

设非齐次方程Ax=b的特解为η

而对应的齐次方程Ax=0的特解为ε，

显然Aη=b，Aε=0

于是

A(η-ε)=b-0=b

所以η-ε就是Ax=b的另一个特解

而齐次方程Ax=0的特解ε1，ε2

显然都满足Aε1=Aε2=0

那么ε1与ε2之间的加减运算当然都仍然满足Ax=0

所以还是齐次方程的特解

含义

形如y''+py'+qy=0的方程称为“齐次线性方程”，这里“齐次”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y'，y''，……的次数都是相等的（都是一次），方程中没有自由项（不包含y及其导数的项），“线性”则表示导数之间是线性运算（简单地说就是各阶导数之间的只能加减）。

比如方程y''+py'+qy=x就不是“齐次”的,因为方程右边的项x不含y及y的导数，是关于y,y',y'',……的0次项，因而就要称为“非齐次线性方程”，方程yy'=1也不是，因为它首先不是线性的。

Answer 3

一个非齐次方程的特解加对应齐次方程的的特解，得到的还是非齐次方程的特解，假设y1是非齐次的特解，y2是齐次的特解。
y1'+f(x)y1=g(x)
y2'+f(x)y2=0
(y1'+y2')+f(x)(y1+y2)=g(x)
所以y1+y2是非齐次的特解

Answer 4

是的，特解加特解等于特解，特解加通解等于通解

追问

谢谢(･ิϖ･ิ)っ

Answer 5

齐次方程解+非齐次方程解=非齐次方程解
非齐次方程解-非齐次方程解=齐次方程解
解与通解要区分开