Question

线性代数线性方程组问题

图中这题其中在判断r(A)≤1为什么？Ax=b有3个基础解系→Ax=0有这3个解：η1-η2，η2-η3，η3-η1。但它们线性相关，所以基础解系应该只有它们其中任意1或2个，继而用n-基础解系个数=r(A)推出r(A)≤2啊？为什么基础解系只有2个？(麻烦不知道的人你看的玩玩就行，胡乱回答我也是不cai纳的)

Answer 1

r(A) ≤ 3, η1， η2， η3 是 Ax = β 的 3 个线性无关的解向量，则
Aη1 = β， Aη2 = β， Aη3 = β， 且 r(A) = 3. 未知量个数 n = 3.
A(η1- η2) = 0, A(η1- η3) = 0, 且 η1- η2， η1- η3 线性无关，
则 η1- η2， η1- η3 是 Ax = 0 的基础解系，
A 的基础解系含线性无关解向量的个数是 2， 则
r(A) = n - 2 = 3 - 2 = 1

Answer 2

能把选项贴出来看看吗？

追问

我不需要答案，而且答案不唯一，2个基础解系加1个特解，就是想知道为什么r(A)≤1？

答案C是我排除法得我

BD不用看就是错的，A从题目本身也不可能是1个基础解系

追答

“基础解系应该只有它们其中任意1或2个”，其实你可以知道是2个。按照一般的情况来看，你说的确实是对的。但是在你已经知道eta_1,eta_2,eta_3线性无关的情况下，你可以肯定eta_1-eta_2,eta_2-eta_3肯定是线性无关的

追问

你说的我都知道，我就是想知道为什么α1，α2，α3线性无关能推出r(A)≤1？

α1α2α3任意两个相减都是无关的我知道，但为什么就推出r(A)≤1？