Question

求第九题解析

Answer 1

如图所示，三棱锥P-ABC为符合题意的三棱锥，取BC的中点D，连接AD，

作球心O在平面ABC上的射影点E，连接OC、OE。

因为AB=BC=CA=2√2，所以△ABC为等边三角形，由点D为BC中点可知AD⊥BC，

又因为PA⊥平面ABC，OE⊥平面ABC，所以在球O中可知PA=2OE，

因为在等边△ABC中边长为2√2，所以BD=CD=√2，AD=√6，CE=(2√6)/3，

又因为球O的半径OC=2，所以在直角△OEC中由勾股定理可算得OE=(2√3)/3，

则三棱锥P-ABC的高PA=2OE=(4√3)/3，

所以三棱锥P-ABC的体积=等边△ABC面积×PA×1/3

=BC×AD÷2×PA×1/3=(2√2)×(√6)÷2×[(4√3)/3]×1/3=8/3，选D。

追问

CE是怎么求出来的？

追答

如下图所示为底面等边△ABC，因为点A、B、C均在球面上，

所以球心O在平面ABC上的射影为等边△ABC的中心，即三条中线（或高）的交点，

可知∠BED=∠CED=60°，所以在直角△CED中DE=CD÷(√3)，CE=2DE，

因为CD=√2，则DE=CD÷(√3)=(√6)/3，所以CE=2DE=(2√6)/3，

或直接因为CE=[(2√3)/3]CD，CD=√2，所以CE=(2√6)/3，

这种算法在任意等边三角形中均适用，可以省去大量计算时间和过程，

如果在证明过程中还要把这一大段写上去，那就太麻烦了，建议熟练使用这种方法。