Question

跪求一道三角函数题！

Answer 1

由于f(x+θ)是奇函数，所以f(x+θ)=-f(θ-x)，即sin(x+θ)+sin(2x+2θ)=sin(x-θ)+sin(2x-2θ)
化简得到cosxsinθ=-cos2xsin2θ
由于f(x+θ)是奇函数，令x=0，得f(θ)=sinθ+sin2θ=(1+2cosθ)sinθ=0，得到sinθ=0或cosθ=-0.5
由于cosxsinθ=-2cos2xsinθcosθ对R上任意x恒成立，当sinθ=0时符合；当cosθ=-0.5时不符合，舍
此时θ可能为0，π，2π，可逐一检验
当θ=0，f(x+θ)=sinx+sin2x，为奇函数
当θ=π，f(x+θ)=sin2x-sinx，非奇函数，舍
当θ=2π，f(x+θ)=sinx+sin2x，为奇函数
综上，θ=0或2π

Answer 2

f(x)=sinx+cosx
=√2six(x+π/4)
f(x+θ)=√2sin(x+θ+π/4)
是奇函数
∴θ+π/4=kπ，(k∈Z)
∴θ=kπ-π/4
∵θ∈[0，2π]
∴k=1，θ=3π/4
或k=2，θ=7π/4