Question

高等数学 证明题 求解？

Answer 1

用中值定理。
考察函数 f(x) = lnx，它在 [1，1+a] 上连续，在（1，1+a）内可导，
因此满足拉格朗日中值定理，
所以存在 b∈(1，1+a) 使 f'(b) = [f(1+a)-f(1)] / [(1+a)-1]，
即 1/b = ln(1+a) / a，
由于 1<b<1+a，因此 1>1/b>1/(1+a)，
故 1 > ln(1+a)/a > 1/(1+a)，
化为 a/(1+a) < ln(1+a) < a。

Answer 2

设f(x)=ln(1+x)，在[0，a]上
根据拉格朗日中值定理，得
f(a)-f(0)=f'(ξ)(a-0)
即ln(1+a)=a/(1+ξ)
由于0<ξ<a
所以a/(1+a)<ln(1+a)<a