Question

求解二次绝对值函数问题 f(x)=x|x-a| +2x-3 在R上为增函数，求a的取值范围

据说 答案为 -2<a<2 自己只感觉 x=a 且x不等于0

为什么 x>a时递增，则对称轴应该在x = a的左侧 而x<a时递增，对称轴应该在x = a的右侧

Answer 1

f(x)=x|x-a|+2x-3
写成分段函数的形式：
f(x)=x²-(a-2)x-3，(x≥a)；f(x)= -x²+(a+2)x-3，(x<a).

∵f(x)在R上为增函数，
且x²-(a-2)x-3和-x²+(a+2)x-3在x=a时均等于2a-3，
∴函数的图象是连续的，
且当x<a时和当x≥a时，函数f(x)都是增函数；

对于f(x)=x²-(a-2)x-3，
其图象为抛物线，开口向上，对称轴为直线x=(a-2)/2，在对称轴的右侧图象上升，
即函数f(x)在[(a-2)/2，＋∞）上为增函数，
要使得函数f(x)在[a，＋∞）上为增函数，
则必有a≥(a-2)/2，即a≥ -2；

同理，对于f(x)= -x²+(a+2)x-3，
其图象为抛物线，开口向下，对称轴为直线x=(a+2)/2，在对称轴的左侧图象上升，
即函数f(x)在（－∞，(a+2)/2]上为增函数，
要使得函数f(x)在（－∞，a）上为增函数，
则必有a≤(a+2)/2，即a≤2；

∴当f(x)在R上为增函数时，实数a的取值范围是-2≤a≤2.

你说的答案-2<a<2有问题，忽视了等号.（你可以检验a=±2时的情况）.

Answer 2

分类讨论
f x在R上是增函数，则f x在x>a和x<a时都是增函数
x>a时，f x = x平方 - （a - 2）x - 3
对称轴 x = （a - 2）/ 2
要使其在x>a时递增，则对称轴应该在x = a的左侧，即（a - 2）/ 2 < a
解出a > -2
x<a时，f x = -x平方 + （a + 2）x - 3
对称轴 x = (a + 2) / 2
要使其在x<a时递增，对称轴应该在x = a的右侧，即(a + 2) / 2 > a
解出a < 2

故 -2 < a < 2