
已知函数f(x)=x^2+2ax+2,x属于【-5,5】。求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间【-5,5】上是单调函数.
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解:因为f(x)=x^2+2ax+2,且x∈[-5,5]。
则有:f'(x)=2x+2a
(1)若要使f(x)单调增,有:f'(x)>0
即:2x+2a>0
则有:a>-x
因为x∈[-5,5],所以a>-5
即:当a∈(-5,∞)时,f(x)单调增。
(2)若要使f(x)单调减,有:f'(x)<0
即:2x+2a<0,
则有:a<-x
因为x∈[-5,5],所以a<-5
即:当a∈(-∞,-5)时,f(x)单调减。
则有:f'(x)=2x+2a
(1)若要使f(x)单调增,有:f'(x)>0
即:2x+2a>0
则有:a>-x
因为x∈[-5,5],所以a>-5
即:当a∈(-5,∞)时,f(x)单调增。
(2)若要使f(x)单调减,有:f'(x)<0
即:2x+2a<0,
则有:a<-x
因为x∈[-5,5],所以a<-5
即:当a∈(-∞,-5)时,f(x)单调减。
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函数y=f(x)的对称轴是x=-a。只需该对称轴在区间[-5,5]之外即可。
即:-a<=-5或-a>=5
得到:a>=5或a<=-5
即:-a<=-5或-a>=5
得到:a>=5或a<=-5
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求f(x)的倒数f'(x)=2x+2a
当x属于(-5,5)时f'(x)恒大于0或恒小于0
因为2x+2a为单调递增函数 所以f'(5)<0或f'(-5)>0
接得a<-5或a>5
当x属于(-5,5)时f'(x)恒大于0或恒小于0
因为2x+2a为单调递增函数 所以f'(5)<0或f'(-5)>0
接得a<-5或a>5
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