Question

如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于D,过C作BD垂线交BD延长线于E，交BA的延长线于F

求证：BD=2CE
2、如图，已知△ABC中，AD⊥BC，∠B=2∠C，试说明AB+BD=CD的理由。
3、如图，在△ABC，D是BC上一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数。

Answer 1

证明：
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE

Answer 2

证：延长BA、CE，两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2C

Answer 3

解：（1）如图3，
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
且点O是线段AD的中点，
∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，
∴∠4=∠5．
又∵∠4+∠5=∠2=60°，
∴∠4=30°．
同理∠6=30°．
∵∠AEB=∠4+∠6，
∴∠AEB=60°．

 

（2）如图4，
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．
又∵OD=OA，
∴OD=OB，OA=OC，
∴∠4=∠5，∠6=∠7．
∵∠DOB=∠1+∠3，
∠AOC=∠2+∠3，
∴∠DOB=∠AOC．
∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，
∴2∠5=2∠6，

∴∠5=∠6．
又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，
∴∠AEB=∠2+∠6-∠5=∠2+∠5-∠5=∠2，
∴∠AEB=60°．

Answer 4

证明：延长BA、CE，两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE