Question

a,b,c为实数，ac＜0且√3a+√3b+√5 c=0,证明：一元二次方程ax^2+bx+c=0有大于3/4而小于1的根

a,b,c为实数，ac＜0且√3a+√3b+√5 c=0,证明：一元二次方程ax^2+bx+c=0有大于3/4而小于1的根

Answer 1

思路：若证一元二次方程ax^2+bx+c=0有大于3/4而小于1的根，
只需证f(3/4)＊f(1)<0即可
证明：由ac＜0
知a不等于0
由√3a+√3b+√5 c=0
方程两边同时除以a
知√3+√3b/a+√5 c/a=0
得b/a=-1-(√5 /√3) c/a……………①
令f(x)=ax^2+bx+c
f(3/4)=a(3/4)^2+b(3/4)+c
等式右侧强行提取a，
得f(3/4)=a[(3/4)^2+(3/4)b/a+c/a]……………②
将①带入②得
f(3/4)=[9-12-(12√5/√3)c/a+16c/a]a/16……………③
f(1)=a+b+c
且由由√3a+√3b+√5 c=0
知f(1)=[1-(√5/√3)]c…………④
由③④知
f(3/4)＊f(1)=[9-12-(12√5/√3)c/a+16c/a]a/16*[1-(√5/√3)]c
因为ac<0
知[9-12-(12√5/√3)c/a+16c/a<0
且[1-(√5/√3)<0
故f(3/4)＊f(1)<0
故一元二次方程ax^2+bx+c=0有大于3/4而小于1的根