Question

已知f(x)的定义域为R,并满足以下条件： 1 对任意x属于R，有f（X）大于0 2 对任意x，y属于R，有f（xy）=f（

已知f(x)的定义域为R,并满足以下条件：
1 对任意x属于R，有f（X）大于0
2 对任意x，y属于R，有f（xy）=（f（x））^y -----------就是f（x）的y次方。。。
3 f（1/3）大于1
求证 1)f（x）在R上单增
2）若a>b>c>0，且b的平方=ac，求证f（a）+f（c）>2f(b)

Answer 1

解：1）设f(1/3)=m>1,f(x)=f(1/3*3x)=(f(1/3))^3x=m^3x
因为m>1,所以f(x)=m^3x单调递增。

由1）可知，f(x)=k^x(k=m^3),f(a)>0,f(b)>0,f(c)>0,a>b>c>0
所以f(a)+f(c)=k^a+k^c>=2根号下k^(a+c)>=2根号下k^2b=2k^b=2f(b)
因为a>b>c,所以等号不能取得，不等式得证。

Answer 2

1.首先证明x>0时，f(x)>1；x=0时，f(x)=1；x<0时，f(x)<1；
x=0,则有f(0)=f(0)^y,f(x)>0，则有f(0)=1；
f(1/3*x)=f(1/3)^x, f(1/3)>1,则x>0时，f(1/3*x)>1；x<0时，f(1/3*x)<1
即证明：x>0时，f(x)>1；x=0时，f(x)=1；x<0时，f(x)<1；

再证明f(x)在R上单增；
假设a>1；有f(ax)=f(x)^a；
x>0时，ax>x, f(x)^a>f(x),有f(ax)>f(x)；(f(x)>1,a>1)；
x<0时，ax<x, f(x)^a<f(x),有f(ax)<f(x)；(f(x)<1,a>1)；
由以上可证，f(x)在R上单增；
2.要证明f(a)+f(c)>2f(b)；只需证明f(a)+f(c)>=2f((a+c)/2)与
f((a+c)/2)>=f(b)；
对于f(a)+f(c)>=2f((a+c)/2)；
可假设a=xc；
则有f(a)=f(xc)=f(c)^x；
则f(a)+f(c)=f(c)^x+f(c)>=2f(c)^(x+1)/2=2f(c(x+1)/2)=2f((a+c)/2)；
而对于f((a+c)/2)>=f(b)；
有（a+c)/2>=(ac)^0.5=b；
f(x)又为增函数；
则易知f((a+c)/2)>=f(b)；
综上所述，有f(a)+f(c)>=2f(b)；
而上式等号成立的条件为a=b=c，显然与题目条件不符；
则f(a)+f(c)>2f(b)可证；