Question

高数的极限问题

请问图中步骤等价无穷小不对吗 能详细解释一下吗 不是乘除就可以用吗 况且分式上下的精度也够了

Answer 1

不对，第一行第一个式子分母中ln(1+x)不能用等价无穷小来替换，必须是整个式子的因式才能替换。

追问

它是乘除呀 为什么不能替换 而且分式上下精确度一样

追答

它只是真数的一部分，不是整个式子的因式

Answer 2

求极限时使用等价无穷小的条件： 1、被代换的量，在去极限的时候极限值为0。 2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。可以看下无穷小等价的定义，你走进了一个误区，因为在计算时，是初等函数相加减后的总体，在x趋于零时，其极限为零，所以代换是要总体代换，并不是相加减的就无法代换。

Answer 3

分享一种解法。一般地，在进行等价无穷小量替换时，当变量出现n次幂时，其等价无穷小量应取n+1次项作为替换。
本题中，出现了“x”即“x^n”n=1的项，故，ln(1+x)应取n=2的表达式作为替代式。∵x→0时，ln(1+x)=x-x²/2+O(x²)，∴ln(1+x)~x-x²/2。
∴原式=lim(x→0)[x/(x-x²/2)]^(1/x)=lim(x→0)[1/(1-x/2)]^(1/x)=e^(1/2)。
供参考。

Answer 4

你只考虑了内部式子的精度，没有考虑最终结果的精度，x/ln(1+x) =1+o(x)，当小趋于0时，这个o(x)会被外边的函数无穷放大，不能忽略
不能在求极限过程中随便忽略无穷小，除非你确信它对结果没有影响

Answer 5

不能这么等价