Question

请问这个题怎么做？

Answer 1

解：对f(x)=1/x*lnx求导，f'(x)=-(lnx+1)/(xlnx)^2 令f'(x)=0 得出 x=1/e 在（0,1/e)上f(x)单调递增 在（1/e,1)上单调递减，所以在1/e出取得极（最）大值。f(1/e)=e 再看条件是2^1/x>x^a 两边取对数ln 得到：ln2^1/x>lnx^a 即：ln2*1/x>a*lnx 在（0,1）上lnx小于零两边同时除以lnx变号得到：1/x*lnxeln2 极值点是最小值时： f'(x)=1/x+a/x^2， f''(x)=-1/x^2-2a/x^3 f'(x)=0时，1/x+a/x^2=0，x=-a f(-a)=ln(-a)-a/(-a)=ln(-a)+1 若ln(-a)+1=2，则a=-e， 此时x=e在区间[1,e]内,f''(e)=1/e^2>0,即存在极小值 边界值x=1处是函数最小值时： f(1)=ln1-a=2，则a=-2 此时极值点f(-a)=f(2)=ln2+2/2=ln2+1<2，即比边界值更小，故f(1)不是函数最小值 因此a=-e