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先证明如果方阵A可逆，则方阵(A^T)A是正定矩阵。容易验证它是对称矩阵，任取n维非零实向量X，因为A可逆，所以齐次线性方程组AX=0只有零解，所以当X≠0时，AX≠0,所以二次型(X^T)(A^T)AX=((AX)^T)AX＞0(非零向量与自己的内积大于0)，二次型为正定二次型，即其矩阵(A^T)A是正定矩阵。下面回到题目中的A,|A|是范德蒙行列式，|A|=Π(xi–xj),因为xi≠xj,所以|A|≠0,所以A可逆，根据前面的结论，(A^T)A是正定矩阵。
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11111
2024-11-15 广告
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