Question

求一阶常系数微分方程的解

Answer 1

二阶线性齐次方程的一般形式为：y''＋py'＋qy＝0，其中p，q为实常数。其特征方程为r²＋pr＋q＝0，对于此题，p＝-3，q＝2，则y''-3y'＋2y＝0的特征方程为r²-3r＋2＝0，解得r1＝1，r2＝2
∵r1≠r2，∴方程的解为y＝C1eˇx＋C2eˇ2x，c1，c2为常数。
特征方程：
利用指数函数e的ax次幂（eˇax）求导后仍为指数函数这个性质，可适当的选择常数r，eˇax满足上面的方程，令：y＝eˇax，所以y'＝reˇax，y''＝r²eˇax代入上面的方程得：r²eˇax＋preˇax＋qeˇax＝0，即eˇax（r²＋pr＋q）＝0， 因为eˇax≠0，所以：r²＋pr＋q＝0
这样，对于上面二次方程的根r，eˇax就是方程y''＋py'＋qy＝0的一个解。此方程就被称为方程的特征方程。
当r1≠r2且为实数时，通解为y＝c1eˇr1x＋c2eˇr2x；
2）当r1＝r2且为实数时，通解为y＝c1eˇr1x＋c2xeˇr1x；
3）当r＝α±βi（复根）时，通解为；y＝eˇαx（c1cosβx＋c2sinβx）
所以求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤为：
1.对照方程写出其特征方程：；
2.求出特征方程的两个根：ρ1，ρ2
3.根据ρ1，ρ2是不同实根，相同实根，共轭复根，分别利用上面的公式写出原方程的通解。

追问

感谢解答

Answer 2

希望有所帮助，望采纳

追问

特征方程的解怎样直接运用到微分方程的解上啊

懂了，感谢