Question

如图，求抛物线经过点A（4,0）B(1,0)C（0，-2）三点

（1）求抛物线的解析式
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM垂直于x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与三角形OAC相似？
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得三角形DCA面积最大，求出点D的坐标。

Answer 1

设二次函数为y=ax^2+bx+c
代入A（4,0）B(1,0)C（0，-2）
得a=-1/2,b=5/2
则y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2

(2)
假设存在,设P(x,y)则:
当P在对称轴左侧时,即(1<x≤5/2)时,有:
OC:OA=PM:AM
即2:4=y:(4-x)
y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2
则[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]/(4-x)=1/2
得x=2或x=4(舍)
此时P点坐标为P(2,1)

当P在对称轴右侧时,即(5/2≤x<4)时,有:
OC:OA=(4-x):y
y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2
则[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]/(4-x)=2
得x=4(舍)或x=5(舍)

即只存在一点P(2,1)使△PMA与△OAC相似

(3)
△DCA的底AC固定,即高h在变.
高即点D到AC的距离
设点D(x,y)
AC直线易求:y=(1/2)x-2
即x-2y-4=0

点到直线距离:
|x-2y-4|/√(1^2+2^2)
=|x-2[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]-4|/√(1^2+2^2)
=|x^2-4x|/√5

由题知x的范围是0≤x≤4
则|x^2-4x|/√5的最大值在x=2时取得
即此时D(2,1)为所求点.

Answer 2

点P的坐标有3个