Question

高一数学必修1函数及其表示

设函数f（x)对于任意x,y属于R都有f（x+y）=f（x）+f（y）
1.求f（0）的值
2.求证：f（x）为奇函数
3若f（x）在区间（0，正无穷）上是减函数，且f(x)<0,试判断g（x）=1/f（x）在区间（负无穷，0）上的单调性，并证明结论

Answer 1

1
令x=y=0，得到f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0
2
令x=x，y=-x代入，得到f（x-x）=f（x）+f（-x），所以
f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数
3
x∈（0，+∞）时f（x）＜0，那么有x∈（-∞，0）时f（-x）=-f （x）＞0,且由奇函数关于（0,0）对称易得f（x）在（-∞，0）上也是减函数
（以上不懂的话可以边画图边验证）
下面用定义证明g（x）的单调性
（-∞，0）上取x1＜x2，
则g（x1）-g（x2）=1/f（x1）-（1/f（x2））=[f（x2）-f（x1）]/[f（x1）*f（x2）]
∵f（x1）＞0，f（x2）＞0，而f（x2）-f（x1）＜0
∴由上式可得g（x1）-g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2）
∴g（x）在（-∞，0）上单调递增