Question

请问这道高等数学题怎么做？

Answer 1

设P(x)=f[(1+x)/2]-f[(1-x)/2] -x，则：P(x)在[0,1]内连续，在(0,1)内可导，且P(0)=P(1)=0
所以，必存在一点ξ∈(0,1)，使得：P'(ξ)=0，
即：(1/2)f'[(1+ξ)/2]+(1/2)f'[(1-ξ)/2]-1=0
f'[(1+ξ)/2]+f'[(1-ξ)/2]=2
f'(ξ1)+f'(ξ2)=2
其中ξ1=(1+ξ)/2，ξ2=(1-ξ)/2，显然ξ1不等于ξ2

Answer 2

只想出了第一问，令g(x)=x-f(x)，h(x)=-g(x)，接着运用两次罗尔定理即可

Answer 3

先用罗尔定理再用拉格朗日即可，第二题用第一题的结论便不用再证明了！

追问

请问为什么g'(ξ)等于0就得到了f'(ξ)＝ξ？不应该是f'(ξ)＝1吗……？

Answer 4

这个问题就是考察拉格朗日中值定理的灵活运用.

Answer 5

如图